2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学（文）试卷（解析版）_满分5

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2. 难度：简单
已知复数，（为虚数单位），则所对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

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3. 难度：简单
已知：幂函数在上单调递增；，则是的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

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4. 难度：简单
一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为（） A. B. C. D.

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8. 难度：简单
《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，且益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为（） A. B. C. D.

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10. 难度：简单
在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（） A. B. C. D.

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13. 难度：简单
直线过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为__________．

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15. 难度：中等
将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小值为__________．

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16. 难度：中等
已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________．

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17. 难度：中等
数列的前项和为满足：，数列满足：①，②，③. （1）求数列与的通项公式；（2）设，求数列的前项和.

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18. 难度：简单

某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种种子发芽颗数之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：

该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.

（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；

（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求关于的线性回归方程；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2（颗），则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

（注：）

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19. 难度：中等
如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且斜边，侧棱，点为的中点，点在线段上，. （1）求证：不论取何值时，恒有；（2）当为何值时，面.

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20. 难度：中等
如图所示，抛物线的焦点为上的一点满足. （1）求抛物线的标准方程；（2）过点作不经过原点的两条直线分别与抛物线和圆相切于点，试判断直线是否过焦点.

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21. 难度：困难
已知函数，记为的导函数. （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（2）讨论的解的个数；（3）证明：对任意的，恒有.

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22. 难度：中等
选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于两点，若点的直角坐标为，求的值.

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23. 难度：中等
选修4-5：不等式选讲已知函数，记的最小值为. （1）解不等式：；（2）是否存在正数，同时满足：，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.