2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考数学（理）试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是 （   ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

设集合， ，则（   ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

已知为第四象限角， ，则的值为（   ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

有一长、宽分别为、的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（     ）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：简单

抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（   ）

A.     B.     C.     D.

6. 难度：中等

函数的图像为（   ）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（   ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：中等

宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为5、2，则输出的n等于

A. 2    B. 3

C. 4    D. 5

9. 难度：中等

设随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是（   ）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：困难

已知圆： ，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线， 为切点，则直线经过定点（     ）

A.     B.     C.     D.

11. 难度：困难

如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，记，则的值为（     ）

A.     B. 45    C.     D. 180

12. 难度：压轴

已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数： ， ， ， ，则下列说法正确的有（   ）个

     ①的定义域为；

②设， ，则；

③；

④若集合，则中至少含有个元素．

A. 个    B. 个    C. 个    D. 个

二、填空题

13. 难度：中等

的展开式中， 的系数为__________．

14. 难度：中等

某校今年计划招聘女教师人，男教师人，若、满足，则该学校今年计划招聘教师最多__________人．

15. 难度：中等

已知函数的两个零点分别为，则__________．

16. 难度：压轴

“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为： ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列， 为数列的前项和，则

（Ⅰ）__________；      （Ⅱ）若，则__________．（用表示）

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数 ， ．

（Ⅰ）求函数的值域；

（Ⅱ）已知锐角的两边长分别为函数的最大值与最小值，且的外接圆半径为，求的面积．

18. 难度：中等

如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为，据此解答如下问题．

（Ⅰ）求全班人数及分数在之间的频率；

（Ⅱ）现从分数在之间的试卷中任取 3 份分析学生情况，设抽取的试卷分数在的份数为 ，求的分布列和数学望期．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， ，侧面底面， 分别为的中点，点在线段上．

（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．

20. 难度：困难

如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点．

（1）若，求曲线的方程；

（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；

（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求的面积的最大值．

21. 难度：压轴

设，曲线在点处的切线与直线垂直．

（1）求的值；

（2）若对于任意的， 恒成立，求的取值范围；

（3）求证： ．

22. 难度：中等

选修44：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，在以原点为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为．
   （Ⅰ）若直线与曲线C有公共点，求的取值范围；

   （Ⅱ）设为曲线C上任意一点，求的取值范围．

23. 难度：中等

选修4—5：不等式选讲

已知函数， ．

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若对任意，都存在，使得=成立，求实数的取值范围．