2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

全集，集合，则__________．

2. 难度：简单

设复数（，，是虚数单位），若，则的值为__________．

3. 难度：简单

函数定义域为__________．

4. 难度：简单

棱长均为的正四棱锥的体积为__________．

5. 难度：简单

已知实数，满足不等式组则的最大值为__________．

6. 难度：简单

若“，”是假命题，则实数的取值范围是__________．

7. 难度：中等

将函数的图象至少向右平移__________个单位，所得图象恰关于坐标原点对称．

8. 难度：简单

已知等差数列的首项为．若为等比数列，则__________．

9. 难度：简单

在平面直角坐标系中，如果双曲线的焦距为，那么当任意变化时，的最大值是__________．

10. 难度：简单

已知函数定义域为，其中，值域，则满足条件的数组为__________．

11. 难度：简单

在平面直角坐标系中，已知圆：，直线与圆相交于，两点，且，则的取值范围为__________．

12. 难度：简单

已知函数，平行四边形四个顶点都在函数图像上，且，，则平行四边形的面积为__________．

13. 难度：简单

已知数列各项为正整数，满足．若，则所有可能取值的集合为__________．

二、解答题

14. 难度：中等

在三角形中，角，，所对的边分别是，，．已知，．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

15. 难度：中等

如图，在四面体中，，，点，分别为棱，上的点，点为棱的中点，且平面平面．求证：

（1）；

（2）平面平面．

16. 难度：中等

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形是矩形，弧是半圆，凹槽的横截面的周长为．若凹槽的强度等于横截面的面积与边的乘积，设，．

（1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围；

（2）求当取何值时，凹槽的强度最大．

17. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，点，分别为椭圆的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，交于点，其中点在第一象限，设直线的斜率为．

（1）当时，证明直线平分线段；

（2）已知点，则：

①若，求；

②求四边形面积的最大值．

18. 难度：简单

已知数列满足，，且对任意，都有．

（1）求，；

（2）设（）．

①求数列的通项公式；

②设数列的前项和，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．

19. 难度：简单

已知（）．

（1）当时，求的单调区间；

（2）函数有两个零点，，且

①求的取值范围；

②实数满足，求的最大值．

20. 难度：简单

[选修4-1：几何证明选讲]

如图，已知凸四边形的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心在上，且与四边形的其余三边相切．点在边上，且．

求证：，，，四点共圆．

21. 难度：中等

[选修4-2：矩阵与变换]

在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换下得到点，求．

22. 难度：简单

[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知极坐标系中的曲线与曲线交于，两点，求线段的长．

23. 难度：中等

[选修4-5：不等式选讲]

已知，，求证：．

24. 难度：中等

在平面直角坐标系中中，已知定点，，分别是轴、轴上的点，点在直线上，满足：，．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设为点轨迹的一个焦点，、为轨迹在第一象限内的任意两点，直线，的斜率分别为，，且满足，求证：直线过定点．

25. 难度：中等

已知函数，设为的导数，．

（1）求，，；

（2）求的表达式，并证明你的结论．