2017届四川成都市高三理一诊考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合．则（    ）．

A．   B．  

C． D．

2. 难度：简单

命题“若，则”的否命题是（    ）．

A．若，则   B．若，则

C．若，则   D．若， 则

3. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的为（    ）．

A．     B．-1或1    C．1    D．-1

4. 难度：中等

已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上一点满足轴．若，则该双曲线的离心率为（    ）．

A．  B．    C．   D．3

5. 难度：简单

已知为第二象限角，且，则的值为（    ）．

A．  B．    C．   D．

6. 难度：简单

的展开式中的系数为（    ）．

A．25  B．5    C．-15    D．-20

7. 难度：简单

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：简单

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程是（    ）．

A．     B．     C．     D．

9. 难度：中等

在直三棱柱中，平面与棱分别交于点，且直线平面.有下列三个命题：①四边形是平行四边形；②平面平面；③平面平面.其中正确的命题有（    ）．

A．①②    B．②③  C．①③    D．①②③

10. 难度：简单

已知是圆上的两个动点，.若是线段的中点，则的值为（    ）．

A．3    B．    C．2   D．-3

11. 难度：简单

已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，.则关于的方程在上的所有实数解之和为（    ）．

A．-7   B．-6   C．-3    D．-1

12. 难度：中等

已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则的值为（    ）．

A．     B．     C．2    D．8

二、填空题

13. 难度：中等

若复数（其中为虚数单位）的虚部为-1，则____________．

14. 难度：中等

我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ___________．

15. 难度：简单

若实数满足约束条件，则的最小值为 ____________．

16. 难度：简单

已知中，的面积为.若线段的延长线上存在点，使，则____________．

三、解答题

17. 难度：简单

已知数列满足．

（1）证明数列是等比数列；

（2）求数列的前项和．

18. 难度：简单

某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格， 为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示.

（Ⅰ）求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；

（Ⅱ）在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．

19. 难度：简单

如图１，在正方形中，点分别是的中点，与交于点为中点，点在线段上，且.现将分别沿折起，使点重合于点（该点记为），如图2所示.

（1）若，求证：平面；

（2）是否存在正实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

20. 难度：中等

已知椭圆的右焦点为，设直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点.

（1）若直线的倾斜角为，求的面积的值；

（2）过点作直线于点，证明：三点共线.

21. 难度：中等

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若存在，使不等式成立，求的最小值.

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点.若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于两点，设线段的中点为，求的值.

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，正数满足，求的最小值.