2017届山东寿光现代中学高三理12月月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

为虚数单位，复平面内表示复数的点在（   ）

A．第一象限       B．第二象限     

C．第三象限       D．第四象限

2. 难度：简单

已知集合，，则（   ）

A．         B．      

C．  D．

3. 难度：简单

若（，且），则函数的图象大致是（   ）

4. 难度：简单

已知等比数列的公比为正数，且，，则（   ）

A．                  B．2                    

C．                    D．

5. 难度：简单

已知变量满足约束条件，则的最大值为（   ）

A．4                     B．                  

C．                   D．

6. 难度：简单

过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为（   ）

A．         B．      

C．         D．

7. 难度：简单

下图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（   ）

A．                B．                

C．               D．

8. 难度：简单

关于直线与平面，有以下四个命题：①若，则；

②若，则；③若，则；

④若，则．

其中真命题有（   ）

A．1个                  B．2个                

C．3个                  D．4个

9. 难度：困难

抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（   ）

A．                    B．                 

C．                   D．

10. 难度：困难

已知函数，则关于的方程有5个不同实数解的充要条件是（   ）

A．且         B．且      

C．且         D．且

二、填空题

11. 难度：简单

若不等式的解集为，则实数          ．

12. 难度：简单

三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为          ．

13. 难度：简单

过点作圆的弦，其中最短的弦长为          ．

14. 难度：中等

如图，在平行四边形中，和分别在边和上，且，若，其中，则          ．

15. 难度：简单

如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是         ．

三、解答题

16. 难度：简单

在中，内角的对边分别为．已知．

（I）求的值；

（II）若，求的面积．

17. 难度：中等

已知向量，．

（1）当时，求的值；

（2）设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，，，求的取值范围．

18. 难度：简单

已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直，分别为棱的中点，．

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的余弦值．

19. 难度：中等

在数列中，，并且对于任意，都有．

（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求使得的最小正整数．

20. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，分别在其左、右焦点，在椭圆上任意一点，且的最大值为1，最小值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右顶点，直线是与椭圆交于两点的任意一条直线，若，证明直线过定点．

21. 难度：简单

已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：．