2017届河南豫北推荐高三理上精英对抗赛数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知函数，则（   ）

A.       B.4       C.-4       D.

2. 难度：简单

复数（为虚数单位）所对应的点位于复平面内（   ）

A.第一象限       B.第二象限       C.第三象限       D.第四象限

3. 难度：中等

如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（   ）

A.为的和        

B.为的算数平均数      

C.和分别是中最大的数和最小的数       

D.和分别是中最小的数和最大的数

4. 难度：简单

设，则“”是“”的（   ）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

若将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象沿轴向右平移个单位长度，则所得图象的一个对称中心是（   ）

A.       B.       C.        D.

6. 难度：简单

已知实数满足不等式组，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围是（   ）

A.       B.       C.       D.

7. 难度：简单

已知函数，当时，的概率为（   ）

A.       B.       C.       D.

8. 难度：简单

已知函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（   ）

A.1         B.       C.         D.0

9. 难度：简单

已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的值为（   ）

A.        B.       C.        D.

10. 难度：简单

设函数，若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是（   ）

11. 难度：简单

已知在正项等比数列中，存在两项满足，且，则的最小值是（   ）

A.       B.2       C.       D.

12. 难度：简单

已知是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（   ）

A.       B.      

C.             D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，向量，则_____________.

14. 难度：中等

已知当时，恒成立，则实数的取值范围是____________.

15. 难度：中等

若某多面体的三视图如图所示（单位：）则此多面体的体积是____________.

16. 难度：简单

已知圆，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为______________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.

18. 难度：中等

《中国好声音（The Voice of China）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日正式在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：

现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.

（1）求选出的两人导师为其转身的人数和为4的概率；

（2）记选出的2人导师为其转身的人数之和为，求的分布列及数学期望.

19. 难度：中等

如图，在三棱柱中，为的重心，.

（1）求证：平面；

（2）若侧面底面，，，求直线与平面所成角的正弦值.

20. 难度：中等

已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.

（1）求椭圆的方程；

（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；

（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

21. 难度：中等

已知函数.

（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；

（2）若函数有两个零点，试判断的符号，并证明.

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的普通方程；

（2）经过点（平面直角坐标系中点）作直线交曲线于两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的斜率.

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）解不等式；

（2）若，，且，求证：.