2017届山东寿光现代中学高三实验班10月月考数学（理）试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合，集合，则（    ）

A．     B．    

C．    D．

2. 难度：简单

已知，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A．      B．   

C．        D．

3. 难度：简单

为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．，则   

B． ，则

C．，则  

D．，则

4. 难度：简单

在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

5. 难度：中等

三棱锥的三视图中俯视图是等腰直角三角形，三棱锥的外接球的体积记为，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为，则（    ）

A．    B．    C．12    D．

6. 难度：简单

已知点在由不等式组确定的平面区域内，则点所在平面区域的面积是（    ）

A．1    B．2    C．4    D．8

7. 难度：困难

已知是双曲线上的不同三点，且关于坐标原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率等于（    ）

A．    B．   C．  D．

8. 难度：简单

如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ）

A．    B．    C．   D．

9. 难度：困难

如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点． 若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A．4    B．   C．    D．

10. 难度：简单

设函数是函数的导函数，，且，则的解集为（    ）

A．    B．    C．   D．

二、填空题

11. 难度：困难

过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，交其准线于点，若，则直线的斜率为___________．

12. 难度：简单

已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点的最小值为___________．

13. 难度：简单

若函数与有相同的最小值，则不等式的解集为__________．

14. 难度：中等

半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是____________．

15. 难度：简单

设，若，则的最大值为___________．

三、解答题

16. 难度：简单

已知命题函数的定义域为，命题关于的方程的两个实根均大于3，若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．

17. 难度：简单

如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面平面，．

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．

18. 难度：中等

等差数列中，，其前项和为，等比数列中各项均为正数，，且，数列的公比．

（1）求数列与的通项公式；

（2）证明：．

19. 难度：简单

首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新式艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

20. 难度：压轴

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．

（1）求曲线的方程；

（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值．

21. 难度：简单

已知函数．

（1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

（2）求的单调区间；

（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．