2017届湖南益阳市高三9月调研数学（文）试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，集合，则（   ）

A．    B．    C．    D．

2. 难度：简单

函数的最小正周期是（   ）

A．    B．    C．    D．

3. 难度：简单

设，“”是“复数为纯虚数”的（   ）

A．充分而不必要条件     

B.必要而不充分条件

C．充分必要条件       

D．既不充分又不必要条件

4. 难度：简单

某公司2010～2015年的年利润（单位：百万元）与年广告支出（单位：百万元）的统计资料如下表所示：

根据统计资料，则

A．利润中位数是16，与有正线性相关关系

B．利润中位数是17，与有正线性相关关系

C．利润中位数是17，与有负线性相关关系

D．利润中位数是18，与有负线性相关关系

5. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则可输入的实数值的个数为（   ）

A．3    B．2    C．1   D．0

6. 难度：简单

若，满足，，且，则与的夹角为（   ）  

A．    B．    C．    D．

7. 难度：简单

若，，，则（   ）

A．    B．    C．    D．

8. 难度：简单

在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（   ）

9. 难度：简单

已知，.若是与的等比中项，则的最小值为（   ）

A．8    B．4   C．1    D．2

10. 难度：简单

函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（   ）

A．       B．

C．         D．

11. 难度：困难

已知双曲线，与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（   ）

A．2    B．    C．   D．

12. 难度：困难

设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，.若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题

13. 难度：简单

体积为27的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的半径为_________.

14. 难度：简单

若过点（0,2）的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是______.

15. 难度：简单

已知变量，满足约束条件，则的最大值是_________.

16. 难度：简单

在中，为边上一点，，，，若，则________.

三、解答题

17. 难度：中等

20名同学参加某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：

（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；

（Ⅱ）分别求出成绩落在，中的学生人数；

（Ⅲ）从成绩在的学生中任选2人，求此2人的成绩都在中的概率.

18. 难度：中等

在等差数列中，，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的前项和.

19. 难度：中等

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设，求点到面的距离.

20. 难度：困难

已知椭圆的离心率，点在椭圆上，、分别为椭圆的左右顶点，过点作轴交的延长线于点，为椭圆的右焦点.

（Ⅰ）求椭圆的方程及直线被椭圆截得的弦长；

（Ⅱ）求证：以为直径的圆与直线相切.

21. 难度：困难

若函数，.

（Ⅰ）求的单调区间和极值；

（Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.

22. 难度：简单

如图，是半圆的直径，，垂足为，，与、分别交于点、.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：.

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点是曲线上一动点，求点到直线（为参数，）的最短距离.

24. 难度：中等

设函数.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若时恒有，求的取值范围.