2017届湖南益阳市高三9月调研数学（理）试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若为纯虚数，其中，则等于（   ）

A.     B.     C. 1    D. 1或

2. 难度：简单

设，是两个集合，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件     

B.必要不充分条件

C．充分必要条件       

D．既不充分又不必要条件

3. 难度：简单

设，，，则，，的大小关系是（   ）

A．    B．   C．    D．

4. 难度：简单

从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（   ）

A．    B．    C．  D．

5. 难度：简单

在等差数列中，已知，则（   ）

A．12    B．18   C．24    D．30

6. 难度：简单

已知的二项展开式中含项的系数为，则的值是（   ）

A．    B．   C．  D．2

7. 难度：简单

三角函数的振幅和最小正周期分别是（   ）

A．，    B．，    C．，    D．，

8. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（  ）

A.     B. 2    C. 4    D. 6

9. 难度：简单

给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值的个数是（   ）

A．5   B．4    C．3    D．2

10. 难度：困难

已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（   ）

A．   B．    C．    D．

11. 难度：中等

设，，其中、、为实数，若，则的取值范围是（   ）

A．    B.[-6,1]    C．[-1,6]    D．[4,8]

12. 难度：中等

定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（   ）

A．        B．

C．      D．

二、填空题

13. 难度：中等

若过点（0,2）的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______.

14. 难度：中等

已知变量，满足约束条件，则的最大值是_________.

15. 难度：简单

已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式是_________.

16. 难度：困难

已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知是半径为2的圆的内接三角形，内角，，的对边分别为、、，且.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求的面积.

18. 难度：中等

某班50位学生在2016年中考中的数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：,,,,,.

（Ⅰ）求图中的值；

（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.

19. 难度：困难

如图，在直二面角中，四边形是矩形，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的一点，.

（Ⅰ）证明：面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

20. 难度：压轴

已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、.

（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；

（Ⅱ）求面积的最小值；

（Ⅲ）过、的直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.

21. 难度：困难

设函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求的零点个数；

（Ⅲ）证明：曲线没有经过原点的切线.

22. 难度：中等

如图，是半圆的直径，，垂足为，，与、分别交于点、.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：.

23. 难度：简单

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点是曲线上一动点，求点到直线（为参数，）的最短距离.

24. 难度：中等

设函数.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若时恒有，求的取值范围.