2015-2016学年江西南昌二中高二下期中数学（理）试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：

①，   ②，

③， ④

其中假命题有：（ ）

A．0个      B．1个       C．2个       D．3个

2. 难度：简单

把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离（   ）

A．2+      B．

C．1+      D．3

3. 难度：简单

已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A.            B.           C.          D.

4. 难度：中等

点，，，在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（   ）

A．         B．           C．           D．

5. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（   ）

A．平面ABD⊥平面ABC      B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC      D．平面ADC⊥平面ABC

6. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA₁与平面AB₁C₁所成的角为（ ）

A．      B．      C．      D．

7. 难度：简单

如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为1的正方形，若∠A₁AB=∠A₁AD=60°，且A₁A=3，则A₁C的长为（ ）

A．      B．      C．      D．

8. 难度：中等

在长方体中，，，点为的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（  ）

A．        B．        C．         D．

9. 难度：中等

某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（   ）

A．      B．      C．       D．

10. 难度：中等

如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（    ）

A．       B．      C．       D．

11. 难度：简单

如图，到的距离分别是和， 与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则（   ）

A．   B．

C．   D．

12. 难度：中等

如图，是正方体对角线上一动点，设的长度为，若的面积为 ，则的图象大致是（    ）

二、填空题

13. 难度：中等

在东经圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬与北纬圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球面距离是           .

14. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，，，，是上一动点，则的最小值是___________.

15. 难度：困难

如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．

16. 难度：困难

正方体的棱长为1，为的中点，为线段的动点，过 的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是__________________

①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形；③当时，与的交点满足；④当时，为六边形；⑤当时，的面积为.

三、解答题

17. 难度：困难

平面平面，为正方形，是直角三角形，且，分别是线段的中点．

（1）求证：//平面；

（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

18. 难度：简单

如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若,,, 求到平面ABC的距离.

19. 难度：困难

如图，三棱锥中，是正三角形，平面，，为中点，，垂足为.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.

20. 难度：困难

如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

21. 难度：困难

如图，椭圆：（）和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，且圆的面积为.椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与椭圆的另一个交点分别是点．

（1）求椭圆的方程；

（2）（Ⅰ）设的斜率为，直线斜率为，求的值；

（Ⅱ）求△面积最大时直线的方程．

22. 难度：中等

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，，求证．