2017届湖南师大附中高三上入学摸底文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设全集U＝，M＝，N＝，则∪N＝

A.        B．       C．       D．

2. 难度：简单

若复数z满足z＋2－3i＝－1＋5i，则＝

A．3－8i       B．－3－8i       C．3＋8i       D．－3＋8i

3. 难度：简单

4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为

A.        B．       C．       D．

二、解答题

4. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝3，b＝，A＝，则角B等于

A.                B．

C. 或          D．以上都不对

三、选择题

5. 难度：困难

己知直线l的斜率为k，它与抛物线y²＝4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点， 若＝2，则|k|＝

A．2       B．       C．       D．

6. 难度：简单

要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin的图象

A．向左平移个单位       B．向右平移个单位

C．向左平移个单位       D．向右平移个单位

7. 难度：简单

若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是

A．24π            

B．24π＋8π

C．24π＋4π         

D．32π

8. 难度：简单

设a＝，b＝，c＝log₇，则下列关系中正确的是

A．c＜b＜a       B．c＜a＜b       C．a＜c＜b       D．b＜c＜a

9. 难度：简单

函数y＝xsin x＋cos x的图象大致为

10. 难度：简单

运行下图所示的程序框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是

A．k＞5       B．k＞6       C．k＞7       D．k＞8

11. 难度：简单

如图，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各条棱长都相等，则异面直线AB₁和A₁C所成的角的余弦值大小为

A.        B．－       C．       D．－

12. 难度：简单

已知a，b∈R，直线y＝ax＋b＋与函数f＝tan x的图象在x＝－处相切，设g＝e^x＋bx²＋a，若在区间上，不等式m≤g≤m²－2恒成立，则实数m

A．有最大值e       B．有最大值e＋1

C．有最小值－e       D．有最小值e

四、填空题

13. 难度：简单

已知向量＝（－1，1），向量＝（3，t），若∥（＋），则t＝________．

14. 难度：简单

若sin＝，则cos＝________．

15. 难度：中等

已知直线l经过点P，且被圆截得的弦长为8，则直线l的方程是________________．

16. 难度：中等

若不等式组所表示的平面区域内存在点（x₀，y₀），使x₀＋ay₀＋2≤0成立，则实数a的取值范围是________．

五、解答题

17. 难度：中等

数列的前n项和记为S_n，a₁＝1，a_n＋1＝2S_n＋1.

（1）求的通项公式；

（2）求S_n.

18. 难度：中等

某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．

（1）求分数在[50，60）的频率及全班人数；

（2）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；

（3）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．

19. 难度：困难

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．

（1）求证：AF∥平面BCE；

（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．

20. 难度：困难

已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点A，B为动直线y＝k（x－2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使²＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f＝ln（a为常数，e为自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g＝λf＋sin x在区间上是减函数．

求实数a的值；

若g≤t²＋λt＋1在x∈上恒成立，求实数t的取值范围；

讨论关于x的方程＝x²－2ex＋m的根的个数．

22. 难度：中等

选修4－1：几何证明选讲.

如图，AB是圆O的一条弦，过点A作圆的切线AC，作BC⊥AC，与该圆交于点D，若AC＝2，CD＝2.

（1）求圆O的半径；

（2）若点E为AB中点，求证：O，E，D三点共线.

23. 难度：简单

选修4－4：坐标系与参数方程选讲．

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ＝.

（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；

（2）求曲线C₁上的任意一点P到曲线C₂的最小距离，并求出此时点P的坐标.

24. 难度：中等

选修4－5：不等式选讲．

设函数f（x）＝|2x－a|＋a.

（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m－f（－n）恒成立，求实数m的取值范围.