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2016届山西省等四校高三下第四次联考理科数学试卷(解析版)
一、选择题
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1. 难度:简单

已知全集为R,集合(     )

A.            B.

C.                    D.

 

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2. 难度:简单

已知为实数,若复数为纯虚数,则 (     )

A.         B.           C.           D.

 

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3. 难度:简单

下列函数中,既是奇函数,又在上为增函数的是(     )

A.       B.          C.     D.

 

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4. 难度:简单

下列命题的说法错误的是(     )

A.对于命题,

B.的充分不必要条件

C.若命题为假命题,则都是假命题

D.命题“若,则”的逆否命题为:“若,则

 

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5. 难度:简单

某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析,得到如下数据:

由表中数据,求得线性回归方程为,,若某儿童的记忆能力为时,则他的识图能力为   

A.9.2               B.9.5               C.9.8            D.10

 

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6. 难度:简单

从6个盒子中选出3个来装东西,且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有(     )

A.16种             B.18种             C.22种          D.37种

 

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7. 难度:简单

如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是(     )

A.-7            B. 7              C.-21                 D.21

 

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8. 难度:困难

某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为6的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是 (     )

A.96                B.108

C.180               D.198

 

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9. 难度:困难

图所示程序框图中,输出S=(     )

A45              B.﹣55               C.﹣66               D.66

 

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10. 难度:中等

已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.若在区间上随机取一个数,则事件“”发生的概率为(     )

A.               B.                C.                     D.

 

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11. 难度:简单

已知抛物线的焦点F到双曲线C:渐近线的距离为,点P是抛物线上的一动点,P到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为 (     )

A.                  B.

C.                    D.

 

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12. 难度:中等

已知函数,若对,均有,则的最小值为(     )

A.               B.                  C.-2                 D.0

 

二、填空题
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13. 难度:中等

满足约束条件,则的最大值为__________

 

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14. 难度:简单

已知是边长为的正三角形的中心,则__________      

 

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15. 难度:中等

已知函数的图象如图所示,它与轴在原点相切,且轴与函数图象所围成的区域(如图阴影部分)的面积为,的值为_________

 

 

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16. 难度:中等

中,分别为角所对的边,且,若,则__     

 

三、解答题
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17. 难度:困难

已知数列的前项和为,且

(1) 求数列的通项公式;

(2) ,且数列{}的前项和为,求证:

 

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18. 难度:压轴

根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:

(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);

(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;

(3)将频率视为概率,对于去年的某2天,记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为,求的分布列及数学期望和方差.

 

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19. 难度:困难

在四棱锥中,底面是直角梯形,,平面⊥平面

(1)求证:⊥平面

(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.

 

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20. 难度:中等

已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为.以原点为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切.

(1)求椭圆的方程;

(2)如图,若斜率为的直线轴、椭圆顺次相交于(点在椭圆右顶点的右侧),且.求证直线恒过定点,并求出斜率的取值范围.

 

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21. 难度:困难

设函数

(1)求的单调区间;

(2)若为整数,且当时,恒成立,其中的导函数,求的最大值.

 

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22. 难度:简单

如图,的两条中线相交于点,且四点共圆.

()求证:

() ,求.

 

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23. 难度:中等

在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,直线的极坐标方程为.

(Ⅰ)C的普通方程和直线的倾斜角;

(Ⅱ)设点(0,2),交于两点,求.

 

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24. 难度:中等

已知

(1)若,求不等式的解集;

(2)对恒成立,求实数的取值范围.

 

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