2016届西藏日喀则一中高三下学期二模理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（   ）

A．-1                       B．1                      C．-2                       D．2

2. 难度：简单

已知集合，若，则的子集个数为（   ）

A．5                       B．4                       C．3                     D．2

3. 难度：中等

在中，分别是的三等分点，且若，则（   ）

A．             B．               C．               D．

4. 难度：中等

已知函数，则函数的大致图象为（   ）

5. 难度：中等

已知双曲线的左，右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线的离心率为（   ）

A．                    B．                     C．                     D．

6. 难度：中等

已知函数在上是减函数，恒成立，则是的（   ）

A．充分不必要条件             B．必要不充分条件

C．充要条件                   D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

已知两条不同的直线和两个不同的平面，以下四个命题：

①若且，则

②若且，则

③若且，则

④若且，则

其中正确命题的个数是（   ）

A．4                         B．3                       C．2                    D．1

8. 难度：简单

设函数为偶函数，且，满足，当时，，则当时，（   ）

A．                    B．                  C．                D．

9. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值是（   ）

A．18                           B．50                     C．78                   D．306

10. 难度：简单

已知函数有三个不同的零点其中，则的值为（   ）

A．                   B．                    C．-1                      D．1

二、填空题

11. 难度：中等

观察下列各式：

……

照此规律，当时，则              ．

12. 难度：简单

如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为              ．

13. 难度：简单

将编号为1,2,3,4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子放2个连号小球的所有不同放法有              种.（用数字作答）

14. 难度：简单

已知抛物线的准线方程为，焦点为，为该抛物线上不同的三点，成等差数列，且点在轴下方，若，则直线的方程为        ．

三、解答题

15. 难度：简单

已知函数在处取得最值，其中．

（1）求函数的最小正周期；

（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求．

16. 难度：困难

如图所示几何体中，四边形和四边形是全等的等腰梯形，且平面平面，， 为线段的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角 （钝角）的余弦值.

17. 难度：困难

已知正项数列的前项和为,且，数列满足，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）记，求.

18. 难度：中等

某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表.

规定：三级为合格等级，D为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.

（I）求和频率分布直方图中的的值；

（II）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；

（III）在选取的样本中，从两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的3名学生中为等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.

19. 难度：困难

已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为30°的直线与圆相交所得弦的长度为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）若动直线交椭圆于不同的两点，设，为坐标原点，当以线段为直径的圆恰好过点时，求证：的面积为定值，并求出该定值.

四、填空题

20. 难度：困难

函数．

（I）当时，求函数的单调区间；

（II）若是的极大值点.

（i）当时，求的取值范围；

（ii）当为定值时，设是的3个极值点，问：是否存在实数，可找到使得的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的的值及相应的；若不存在，说明理由.