2016届江苏省高三考前一周双练三模数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：困难

已知集合，，且，则实数的值为           ．

2. 难度：中等

设（，），其中是虚数单位，则           ．

3. 难度：困难

若五个数，，，，的平均数为，则这五个数的标准差是           ．

4. 难度：简单

下图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是           ．

5. 难度：困难

从，，，这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是    ．

6. 难度：简单

将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为           ．

7. 难度：中等

设函数，的值域是，则实数的取值范围是     ．

8. 难度：简单

等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，双曲线与抛物线的准线交于，两点，，则双曲线的实轴长为           ．

9. 难度：中等

如图甲所示，在直角中，、，是垂足，则有，该结论称为射影定理．如图乙所示，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比直角三角形中的射影定理，则有           ．

10. 难度：中等

在中，，，点、分别在边、上，且平行于，是的中点，则的最小值为           ．

11. 难度：简单

若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为           ．

12. 难度：简单

已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点若，则实数           ．

13. 难度：简单

设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为     ．

二、解答题

14. 难度：困难

若二次函数（）的值域为，则的最大值是   ．

15. 难度：中等

在中，，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）设，为垂足，若，，求的值．

16. 难度：简单

如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，．在平面中，，，为的中点，过，，三点的平面交于点．

（1）求证：为中点；

（2）求证：平面平面．

17. 难度：简单

某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为，体积为．

（1）求关于的函数关系式；

（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？并求此时的值．

18. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于．

（1）若直线互相垂直，求圆的方程；

（2）若直线的斜率存在，并记为，，求证：；

（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

19. 难度：困难

对于数列，若从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，则称该等比数列为“差等比数列”，现已知，设其差等比数列的首项为，公比为（）．

（1）是否存在，使得数列是等差数列或等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（2）当时，若是公差为的等差数列，且．试确定的取值范围，使得．

20. 难度：中等

已知函数（），．

（1）求的单调区间；

（2）证明：；

（3）证明：对任意正数，总存在，当时，都有．

21. 难度：中等

如图，设是圆的两条弦，直线是线段的垂直平分线．已知，求线段的长度．

22. 难度：中等

若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵．

23. 难度：中等

在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．

24. 难度：中等

设，，均为正数，．求证：．

三、填空题

25. 难度：中等

已知点，直线，点是上的动点，过点垂直于轴的直线与线段的垂直平分线相交于点．

（1）求点的轨迹方程；

（2）若，直线与点的轨迹交于两点，试问的轨迹上是否存在两点，使得四点共圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

四、解答题

26. 难度：中等

设且，集合的所有个元素的子集记为，，，．

（1）求集合，，，中所有元素之和；

（2）记为（，，，）中最小元素与最大元素之和，求的值．