2015-2016学年安徽省高二下第一次段考文数学卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设，，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）

A．直线过点

B．和的相关系数为直线的斜率

C．和的相关系数在0到1之间

D．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同

2. 难度：简单

下列推理是归纳推理的是（）

A．为定点，动点满足，得的轨迹为随圆

B．由，，求出，，，猜想出数列的前项和的表达式

C．由圆的面积，猜出椭圆的面积

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

3. 难度：中等

在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足1%，那到的一个可能取值为（）

A．6.635          B．5.024        C．7.897          D．3.841

4. 难度：中等

下列说法正确的有（   ）个

①在回归分析中，可用指数系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好.

②在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好.

③在回归分析中，可用相关系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好.

④在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.

A．1     B．2     C．3     D．4

5. 难度：简单

正弦函数是奇函数（大前提），是正弦数（小前提），因此是奇函数（结论），以上推理（）

A．结论正确     B．大前提错误     C．小前提错误     D．以上都不对

6. 难度：简单

年劳动生产率（千元）和工人工资（元）之间回归方程为，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均（）

A．增加70元     B．减少70元     C．增加80元     D．减少80元

7. 难度：中等

设为实数，函数的导数是，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（）

A．           B．           C．         D．

8. 难度：简单

用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）

A．都是奇数

B．都是偶数

C．中至少有两个偶数

D．中至少有两个偶数或都是奇数

9. 难度：简单

若函数在内有极小值，则实数的取值范围是（）

A．             B．            C．              D．

10. 难度：中等

已知数列的前项和为，且，，可归纳猜想出的表达式为（）

A．            B．               C．                D．

11. 难度：中等

设，，，…，，则等于（）

A．             B．              C．               D．

12. 难度：中等

如图所示，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.

① 每次只能移动一个金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.若将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则（）

A．33            B．31                C．17                D．15

二、填空题

13. 难度：中等

如图1有面积关系：则图2有体积关系：__________.

14. 难度：中等

观察下列各式：，，，，……，则__________.

15. 难度：中等

用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第条“金鱼”需要火柴棒的根数为__________.

16. 难度：中等

一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间为，测得刹车后内列车前进的距离为，则列车刹车后__________车停了下来.

三、解答题

17. 难度：中等

设，证明：.

18. 难度：中等

大家知道 ，莫言是中国首位获得诺贝尔文学奖的文学家，国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度，结果如下：

（1）试估计该学校学生阅读莫言作品超过50篇的概率.

（2）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”，根据题意完成下表，并判断能否有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关？

19. 难度：困难

先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知，，求证.

证明：构造函数，，因为对一切，恒有，所以，从而得，

（1）若，，…，，请写出上述结论的推广式；

（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明.

20. 难度：中等

在某医学实验中，某实验小组为了分析某药物用药量与血液中某种抗体水平的关系，选取六只实验动物进行血检，得到如下资料：

记为抗体指标标准差，若抗体指标落在内，则称该动物为有效动物，否则称为无效动物，研究方案规定先从六只动物中选取两只，用剩下的四只动物的数据求线性回归方程，再对被选取的两只动物数据进行检验

（1）若选取的是编号为1和6的两只动物，且利用剩余四只动物的数据求出关于的线性回归方程为，试求出的值；

（2）若根据回归方程估计出的1号和6号动物的抗体指标数据与检验结果误差都不超过抗体指标标准差，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试判断（1）中所得线性回归方程是否可靠.（本题参考数据：）

21. 难度：困难

已知函数（）.

（1）求的单调区间；

（2）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

22. 难度：困难

一个圆柱形圆木的底面半径为1，长为10，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为（单位：），表面积为（单位：）.

（1）求关于的函数表达式；

（2）求的值，使体积最大；

（3）问当木梁的体积最大时，其表面积是否也最大？请说明理由.