2016届吉林省高三第八次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，则（   ）

A．        B．      C．       D．

2. 难度：中等

已知复数为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限         B．第二象限      C．第三象限        D．第四象限

3. 难度：简单

某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取名成年人调查是否抽烟及是否患有肺病得到列联表，经计算得，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，.则该研究所可以（   ）

A．有以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”

B．有以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”

C．有以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”

D．有以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”

4. 难度：简单

已知，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件       B．必要不充分条件

C．充分条件             D．既不充分也不必要条件

5. 难度：困难

若，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（   ）

A．         B．       C．        D．

6. 难度：简单

已知函数的部分图象如图所示，点是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于两点，则的值为（   ）

A．            B．            C．            D．

7. 难度：中等

已知等比数列中，，等差数列中，则数列的前项和等于（   ）

A．         B．         C．         D．

8. 难度：简单

从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（   ）

A．        B．       C．         D．

9. 难度：简单

在平行四边形中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（   ）

A．         B．        C．       D．

10. 难度：中等

过抛物线的焦点作两条垂直的弦、，则（   ）

A．        B．         C．        D．

11. 难度：中等

某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为的等腰直角三角形，侧视图是边长为的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（   ）

A．            B．         C．      D．

12. 难度：中等

已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（   ）

A．          B．        C．         D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知满足约束条件则的最大值为_______.

14. 难度：中等

在长为厘米的线段上任取一点，现以线段为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于平方厘米的概率为_____.

15. 难度：中等

的展开式中，项的系数为_____.

16. 难度：困难

已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为____个.

三、解答题

17. 难度：中等

设中的内角所对的边长分别为，且.

（1）当时，求角的度数；

（2）求面积的最大值.

18. 难度：中等

某大学志愿者协会有名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为.

现从这名同学中随机抽取名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.

（1）求的值；

（2）求选出的名同学恰为专业互不相同的男生的概率；

（3）设为选出的名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量的分布列及其数学期望.

19. 难度：中等

如图，四棱锥中，平面平面，，且，.

（1）求证：平面；

（2）求直线和平面所成角的正弦值.

20. 难度：中等

已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.

（1）求椭圆方程；

（2）记与的面积分别为和，求的最大值.

21. 难度：困难

已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：对任意的，.

22. 难度：中等

如图，⊙和⊙公切线和相交于点，为切点，直线交⊙于两点，直线交⊙于两点.

（1）求证：；

（2）若⊙和⊙的半径之比为，求的值.

23. 难度：中等

已知直线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.

（1）判断直线与曲线的位置关系；

（2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值.

24. 难度：中等

已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为.

（1）求整数的值；

（2）已知，若，求的最大值.