2015-2016学年上海市高二上学期期末考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

直线的倾斜角为，则的值是___________.

2. 难度：困难

若实数满足不等式组，则的最大值为        .

3. 难度：中等

设复数满足，则             .

4. 难度：中等

已知直线与圆相切，则的值为__   ___.

5. 难度：简单

已知方程表示椭圆，则的取值范围为__     ____.

6. 难度：中等

若直线经过原点，且与直线的夹角为30⁰，则直线方程为___________________.

7. 难度：简单

过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数的值为__________.

8. 难度：简单

已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又、，O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是_________.

9. 难度：简单

若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________.

10. 难度：中等

双曲线的焦点为F₁、F_2，，P在双曲线上 ，且满足：，则的面积是          .

11. 难度：简单

若点在直线上的射影是,则的轨迹方程是           .

12. 难度：简单

已知点在直线上，点在直线上，PQ的中点为，且,则的取值范围是             .

二、选择题

13. 难度：简单

设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（    ）

A.充分不必要条件            B.必要不充分条件 

C.充分必要条件               D.既不充分也不必要条件

14. 难度：简单

与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（    ）

A.        B.        C.         D.

15. 难度：简单

设曲线C的参数方程为为参数，直线 的方程为，则曲线C上到直线 的距离为的点的个数为（    ）

A. 1          B.  2            C. 3              D. 4

16. 难度：困难

已知曲线：（），下列叙述中正确的是（    ）

A.垂直于轴的直线与曲线存在两个交点

B.直线（）与曲线最多有三个交点

C.曲线关于直线对称

D.若为曲线上任意两点，则有

三、解答题

17. 难度：简单

求以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程.

18. 难度：中等

设是方程的一个根．

（1）求；

（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求.

19. 难度：困难

如图, 直线y=x与抛物线y=x²－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.

（1）求点Q的坐标；

（2） 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

20. 难度：中等

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向的海面P处，并以的速度向西偏北方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为,并以的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

21. 难度：困难

椭圆和椭圆满足椭圆，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．

（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；

（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；

（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆和交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若,,成等比数列，则点P的轨迹方程为”。请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明.