2015-2016学年吉林大学附中高二4月月考文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

是虚数单位，复数满足，则复数（　　）

A．        B．       C．            D．

2. 难度：简单

双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则（　　）

A．B．     C．D．

3. 难度：简单

某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为

A．B．C．D．

4. 难度：中等

已知命题使得；命题，使得．以下命题为真命题的是（　　）

A．B．C．     D．

5. 难度：简单

直线的图像经过第一、二、四象限的一个必要而不充分条件是（　　）

A．    B．     C．且         D．且

6. 难度：简单

若样本数据的标准差为，则数据的标准差为（　　）

A．    B．    C．D．

7. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值是 （　　）

A．1B．2C．4D．7

8. 难度：简单

在区间上随机取两个数记为事件“”的概率，为事件“”的概率，则

A． B．   C．     D．

9. 难度：简单

若从这个整数中取个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

A．种           B．        C．        D．

10. 难度：困难

已知分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（　　）

A．         B．         C．        D．

11. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域为三角形，其面积等于，则的值为

A．             B．            C．            D．

12. 难度：中等

已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，若，则实数的取值范围是（　　）

A．         B．

C．    D．

二、填空题

13. 难度：简单

在样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他个小长方形面积和的，且样本容量为，则中间一组的频数为________．

14. 难度：困难

设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为____．

15. 难度：中等

过点作圆的两条切线，切点分别为则________．

16. 难度：困难

已知是双曲线的右焦点，是的左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为________．

三、解答题

17. 难度：压轴

已知函数是自然对数的底数）．

（Ⅰ）求函数的解析式

（Ⅱ）求函数的单调区间；

18. 难度：中等

如图所示，高二月考考试后，将高二（3）班男生、女生各四名同学的数学成绩（单位：分）用茎叶图表示.女生某个数据的个位数模糊，记为，已知男生、女生的平均成绩相同

（Ⅰ）求的值，并判断男生与女生哪组学生成绩更稳定；

（Ⅱ）在男生、女生中各抽取名同学，求这名同学的得分之和低于分的概率.

19. 难度：困难

在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为.

（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）若点到直线的距离为，求圆的方程.

20. 难度：困难

心理学家分析视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男名，女名），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行答题，选择情况如下表：单位（人）

（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）经过多次测试后，甲解答一道代数题所用时间在分钟，乙解答一道代数题所用时间在分钟，现甲乙各解同一道代数题，求甲比乙先解答完的概率.

下面临界值表仅供参考：

21. 难度：困难

已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点.

（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线，交抛物线于点、交抛物线于点，求的最小值.

22. 难度：困难

已知函数.

（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；

（Ⅱ）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；

（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时，.