2016届江西省南昌市高三第一次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

]设复数z₁，z₂在复平面内的对应点关于实轴对称，z₁=1+i，则z₁z₂=

A.-2        B.2       C.1一i        D.1+i

2. 难度：简单

已知集合A={x|y=），B= {x| y=ln（1-x）}，则AB=

A. [0,1]        B. [0,1)        C. (一∞,1]         D. (一∞,1)

3. 难度：简单

]已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x³+sinx的图像关于原点

中心对称，则下列命题是真命题的是

A.pq           B. p q       C. (p) ( q)         D.p (q)

4. 难度：简单

]为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₃)，(x₄，y₄)，(x₅，y₅)．根据收集到的数据可知x₁+x₂ +x₃ +x₄ +x₅ =150，由最小二乘法求得回归直线方程为= 0.67x+ 54.9，则y₁+y₂+y₃+y₄+y₅的值为

A.75                B.155.4            C.375               D.466.2

5. 难度：简单

](x²一x+1)³展开式中x项的系数为

A.-3               B. -1            C.1                D.3

6. 难度：简单

]从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为

A.          B.             C.               D.

7. 难度：简单

]若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为

A.            B.            C.1            D.2

8. 难度：简单

甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有l门不相同的选法共有

A.30种       B.36种       C.60种       D.72种

9. 难度：简单

已知抛物线C：y² =8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=3FQ，则|QF|=

A.             B.              C.3             D.2

10. 难度：简单

如图网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为

A.1            B.2         C.3            D.4

11. 难度：简单

已知点P在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M(x₀，y₀)，且y₀<x₀ +2，则的取值范围是

A. [一，0）                    B.（一，0）

C.（一，+∞）                 D.（一∞，一）（0,+∞)

12. 难度：中等

已知函数f(x)的定义域为D，若对于a，b，c∈D，．f(a)，f (b)，f(c)分别为某个三角形的三边长，则称f(x)为“三角形函数”．给出‘F列四个函数：

①f(x)=lnx(x>1)，②f(x)=4+sinx，③f(x)=(1≤x≤8)，④f(x)=，其中为“三角形函数”的个数是

A.1            B. 2            C.3               D.4

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量a=(1，)，向量a，c的夹角是，ac=2，则|c|等于           。

14. 难度：简单

数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n+S_n一1=2n-l (n>2)，且S₂ =3，则a₁+a₃的值为          。

15. 难度：中等

正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为____．

16. 难度：困难

已知抛物线C:x² =4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点．设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则的最小值为______

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f(x)=（sinx+ cosx）cosx一（xR，>0）．若f(x)）的最小止周期为4．

( I)求函数f(x)的单调递增区间；

(II)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围．

18. 难度：中等

某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”，现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：

(I)由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关？说明你的理由．

(II)在期末分数段[105，120）的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为X，求X的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：

19. 难度：困难

如图，四棱锥S- ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD ⊥ DC,，AB=AD＝1DC=SD=2， E为棱SB上的一点，且SE=2EB．

(I)证明：DE⊥平面SBC；

(II)证明：求二面角A- DE -C的大小

20. 难度：压轴

已知椭圆C：=1（a>0，b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2一1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，且k₁k₂=k₃k₄．

(i)求k₁k₂的值：    (ii)求OB²+ OC²的值．

21. 难度：中等

已知函数f(x)=lnx+x²一2ax+1．（ a为常数）

(I)讨论函数f(x)的单凋性；

(II)若存在x₀∈(0，1]，使得对任意的a∈(-2，0]，不等式2me^a+f(x₀）> a²+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：简单

如图，圆M与圆N交于A，  B两点，  以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E，  延长CB交圆N于点F．已知BC=5，  DB=10.

(I)求AB的长；（II）求。

23. 难度：简单

己知曲线C的极坐标方程是ρ= 4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．

( I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

( II)若直线，与曲线c相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角a的值．

24. 难度：简单

设函数f(x)= 的最大值为M.

(I)求实数M的值；

(II)求关于x的不等式|x一|+| x+2|≤M的解集。