2016届河北省高三下学期第一次模拟文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，，则（    ）

A．       B．    C．     D．

2. 难度：中等

复数（是虚数单位）的虚部为（    ）

A．    B．     C．1      D．2

3. 难度：简单

下列判断错误的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“”的否定是“”

C．“若，则直线和直线互相垂直”的逆否命题

D．若为假命题，则均为假命题

4. 难度：简单

已知的部分图像如图所示，则的表达式为（    ）

A．        B． 

C．      D．

5. 难度：中等

若满足不等式，则的最大值为（    ）

A．11      B．-11      C．13      D．-13

6. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（    ）

A．8      B．4     C．      D．

7. 难度：简单

已知等比数列的前项和为，，且，则（    ）

A．       B．      C．      D．

8. 难度：简单

已知直线与抛物线交于两点，点，若，则（    ）

A．      B．       C．    D．0

9. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的值是（    ）

A．     B．-1     C．0    D．

10. 难度：中等

若正数满足，则的值为（    ）

A．36    B．72    C．108     D．

11. 难度：中等

中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆：都相切，则双曲线的离心率是（    ）

A．    B．    C．      D．

12. 难度：简单

若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）．已知函数，有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量，若，则的值是________．

14. 难度：简单

若函数为奇函数，则________．

15. 难度：中等

已知三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的大圆面积为________．

16. 难度：简单

如图，在中，，分别是上一点，满足，．若，则的面积为________．

三、解答题

17. 难度：简单

已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求证：．

18. 难度：中等

2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：

（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；

（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区扣款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

附：临界值表

参考公式：．

19. 难度：困难

如图，直三棱柱中，分别是的中点，．

（1）证明：平面；

（2）求异面直线和所成角的大小；

（3）当时，求三棱锥的体积．

20. 难度：困难

已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且，求四边形面积的最小值．

21. 难度：困难

已知函数，其中．（提示：）

（1）若是的极值点，求的值；

（2）求的单调区间；

（3）若在上的最大值是0，求的取值范围．

22. 难度：压轴

如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．

（1）求证：；

（2）求的值．

23. 难度：困难

在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，正三角形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的坐标为．

（1）求点的直角坐标；

（2）设是圆上的任意一点，求的取值范围．

24. 难度：压轴

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求实数的取值范围．