2016届江苏省苏中三市高三第二次调研测试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设复数满足(为虚数单位)，则复数的实部为        ．

2. 难度：中等

设集合，，，则实数的值为        ．

3. 难度：困难

右图是一个算法流程图，则输出的的值是        ．

4. 难度：中等

为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如下表：

根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是        ．

5. 难度：简单

电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是        ．

6. 难度：简单

已知函数（）的图像如图所示，则的值是        ．

7. 难度：简单

设函数（），当且仅当时，取得最大值，则正数的值为        ．

8. 难度：中等

在等比数列中，，公比．若成等差数列，则的值是        ．

9. 难度：简单

在体积为的四面体中，平面，，，，则长度的所有值为        ．

10. 难度：简单

在平面直角坐标系中，过点的直线与圆相切于点，与圆相交于点，且，则正数的值为        ．

11. 难度：中等

已知是定义在上的偶函数，且对于任意的，满足，若当时，，则函数在区间上的零点个数为        ．

12. 难度：简单

如图，在同一平面内，点位于两平行直线的同侧，且到的距离分别为1，3．点分别在，，则的最大值是        ．

13. 难度：简单

设实数满足，则的最小值是        ．

14. 难度：中等

若存在，使得，则实数的取值范围是        ．

二、解答题

15. 难度：中等

在斜三角形中，．

（1）求的值；

（2）若，，求的周长．

16. 难度：困难

如图，在正方体中，分别为棱的中点．

求证：（1）平面；（2）平面平面．

17. 难度：困难

植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：

方案① 多边形为直角三角形（），如图1所示，其中；

方案② 多边形为等腰梯形（），如图2所示，其中．

请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．

18. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为．为椭圆上异于顶点的一点，点满足．

（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）设过点的一条直线交椭圆于两点，且，直线的斜率之积，求实数的值．

19. 难度：简单

设函数，，其中是实数．

（1）若，解不等式；

（2）若，求关于的方程实根的个数．

20. 难度：简单

设数列的各项均为正数，的前项和，．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）等比数列的各项均为正数，，，且存在整数，使得．

（i）求数列公比的最小值（用表示）；

（ii）当时，，求数列的通项公式．

21. 难度：中等

如图，AB是圆的直径，C为圆外一点，且，BC交圆于点D，过D作圆切线交AC于点E.求证：

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换作用下得到点，将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知直线（为参数）与曲线（为参数）相交于两点，求线段的长．

24. 难度：中等

已知，求的最大值.

25. 难度：困难

一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，倍的奖励（），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为元．

（1）求概率的值；

（2）为使收益的数学期望不小于0元，求的最小值．

（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）

26. 难度：中等

设（），其中（）．当除以4的余数是（）时，数列的个数记为．

（1）当时，求的值；

（2）求关于的表达式，并化简．