2015-2016学年山西省高二上期末理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|y=ln（x²﹣2x）}，则A∩B=（  ）

A．{3}    B．{2，3}    C．{﹣1，3}    D．{0，1，2}

2. 难度：中等

已知圆锥底面半径为4，高为3，则该圆锥的表面积为（  ）

A．16π    B．20π    C．24π    D．36π

3. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出y的值为（  ）

A．﹣    B．    C．    D．3

4. 难度：中等

函数的零点个数为（  ）

A．4    B．3    C．2    D．1

5. 难度：中等

已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（  ）

A．y=±2x    B．    C．    D．

6. 难度：中等

设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（  ）

A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ    B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β      D．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β

7. 难度：中等

下列命题中，真命题是（  ）

A．∃x₀∈R，e≤0

B．∀x∈R，2^x＞x²

C．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充要条件

D．设，为向量，则“||=||||”是“∥”的充要条件

8. 难度：中等

过圆x²+y²=4外一点P作该圆的切线，切点为A、B，若∠APB=60°，则点P的轨迹是（  ）

A．直线    B．圆    C．椭圆    D．抛物线

9. 难度：中等

已知向量，，则函数是（  ）

A．周期为π的偶函数    B．周期为π的奇函数

C．周期为的偶函数    D．周期为的奇函数

10. 难度：中等

某四面体的三视图如图所示，则该四面体的所有棱中最长的是（  ）

A．    B．    C．    D．5

11. 难度：中等

若点P在抛物线y=x²上，点Q在圆x²+（y﹣4）²=1上，则|PQ|的最小值是（  ）

A．    B．    C．2    D．

12. 难度：中等

已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（  ）

A．    B．     C．    D．

二、填空题

13. 难度：中等

过抛物线y²=8x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）两点，若|AB|=16，则x₁+x₂=      ．

14. 难度：中等

边长为的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上，则四棱锥O﹣ABCD的体积是      ．

15. 难度：中等

F₁，F₂是双曲线的两个焦点，B是虚轴的一个端点，若△F₁BF₂是一个底角为30°的等腰三角形，则该双曲线的离心率是     ．

16. 难度：中等

将边长为2正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个判断：

①AC⊥BD

②AB与平面BCD所成60°角     

③△ABC是等边三角形

④若A、B、C、D四点在同一个球面上，则该球的表面积为8π

其中正确判断的序号是      ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，b=2，，△ABC的面积为．

（1）求a的值；

（2）求sinA值．

18. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，已知a₆=S₆=﹣3；数列{b_n}满足：b_n+1=2b_n，b₂+b₄=20．

（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

（2）设，求数列{c_n}前n项和T_n．

19. 难度：简单

某地区有100名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是：第1组：[75，80），第2组：[80，85），第3组：[85，90），第4组：[90，95），第5组：[95，100]．

（1）求图中a的值，并估计此次考试成绩的中位数（结果保留一位小数）；

（2）在第2、4小组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取2人进行面试，求至少有一人来自第2小组的概率．

20. 难度：简单

已知圆C：（x﹣1）²+（y﹣2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）

（1）证明：直线l恒过定点，并判断直线l与圆的位置关系；

（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短弦的长度．

四、填空题

21. 难度：困难

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AD=PA=AB=2，E，F分别为PB，AD的中点．

（1）证明：AC⊥EF；

（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．

五、解答题

22. 难度：中等

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，连接该椭圆的四个顶点所得四边形的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同两点M、N，设椭圆C位于y轴负半轴上的短轴端点为A，若三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，求m的取值范围．

六、填空题

23. 难度：中等

已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，若点F₂关于一条渐近线的对称点为M，则|F₁M|=      ．

24. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则cosC的最小值为     ．

25. 难度：简单

设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx，当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=     ．