2015-2016学年辽宁省分校高一上期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={2015，2016}，非空集合B满足A∪B={2015，2016}，则满足条件的集合B的个数是（  ）

A．1    B．2    C．3    D．4

2. 难度：中等

函数y=的定义域是（  ）

A．（1，2]     B．（1，2）    C．（2，+∞）    D．（﹣∞，2）

3. 难度：中等

已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且|AB|=，则a=（  ）

A．1或2    B．1或4    C．0或2    D．2或4

4. 难度：简单

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（  ）

A．56+12    B．60+12    C．30+6    D．28+6

5. 难度：简单

直线l将圆x²+y²﹣2x﹣4y=0平分，且与直线﹣=1平行，则直线l的方程是（  ）

A．2x﹣y﹣4=0    B．x+2y﹣3=0    C．2x﹣y=0    D．x﹣2y+3=0

6. 难度：简单

设a，b，c均为正数，且2^a=，，，则（  ）

A．a＜b＜c    B．c＜b＜a    C．c＜a＜b    D．b＜a＜c

7. 难度：中等

设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：

①若α∥β，α∥γ，则β∥γ

②若α⊥β，m∥α，则m⊥β

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β

④若m∥n，n⊂α，则m∥α

其中真命题的序号是（  ）

A．①④    B．②③    C．②④    D．①③

8. 难度：中等

函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=2x²﹣12x+16，则直线y=2与函数f（x）图象的所有交点的横坐标之和是（  ）

A．1    B．2    C．4    D．5

9. 难度：中等

若x₁满足2x+2^x=5，x₂满足2x+2log₂（x﹣1）=5，x₁+x₂=（  ）

A．    B．3    C．    D．4

10. 难度：中等

过点（3，1）作圆（x﹣1）²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（  ）

A．2x+y﹣3=0    B．2x﹣y﹣3=0    C．4x﹣y﹣3=0    D．4x+y﹣3=0

11. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f（m²﹣6m+21）+f（n²﹣8n）＜0，那么m²+n²的取值范围是（  ）

A．（9，49）    B．（13，49）    C．（9，25）    D．（3，7）

12. 难度：中等

将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（  ）

A．    B．2+    C．4+    D．

二、填空题

13. 难度：中等

函数y=log_a（x﹣1）+8（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）=      ．

14. 难度：中等

直线（2m+1）x+（3m﹣2）y+1﹣5m=0被圆x²+y²=16截得弦长的最小值为     ．

15. 难度：简单

已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是      ．

16. 难度：中等

如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中正确的序号是      ．

①AC⊥BE  ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等．

三、解答题

17. 难度：中等

设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，a为实数，

（1）分别求A∩B，A∪（∁_UB）；

（2）若B∩C=C，求a的取值范围．

18. 难度：中等

已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：

（1）顶点C的坐标；

（2）直线BC的方程．

19. 难度：简单

已知如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁=AC，且AB⊥AC，M是面CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上．

（Ⅰ）若P为A₁B₁中点，求证：NP∥平面ACC₁A₁；

（Ⅱ）证明：PN⊥AM．

20. 难度：中等

如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB．点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．

（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；

（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．

21. 难度：简单

如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．P为AC的动点，根据图乙解答下列各题：

（1）求三棱锥D﹣ABC的体积．

（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；

（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

22. 难度：简单

设函数，其中a为常数

（1）当f（2）=f（1）+2时，求a的值；

（2）当x∈[1，+∞）时，关于x的不等式f（x）≥x﹣1恒成立，试求a的取值范围；

（3）若a∈R，试求函数y=f（x）的定义域．