2015-2016学年湖南衡阳八中高二下第一次月考理科数学卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：困难

定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b）满足， ，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x³﹣x²+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（   ）

A．     B．（）    C．（，1）     D．（，1）

2. 难度：简单

已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，若2＜a＜4则（   ）

A．f（2^a）＜f（3）＜f（log₂a）      B．f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）

C．f（3）＜f（log₂a）＜f（2^a）     D．f（log₂a）＜f（2^a）＜f（3）

3. 难度：简单

下列4个不等式：（1）；（2）；（3）；（4）sinxdx＜xdx．能够成立的个数是（   ）

A．1个          B．2个            C．3个         D．4个

4. 难度：中等

如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为（   ）

A．1          B．             C．2            D．2

5. 难度：简单

若a＞b＞c，则使恒成立的最大的正整数k为（   ）

A．2          B．3            C．4           D．5

6. 难度：中等

证明命题：“f（x）=e^x+在（0，+∞）上是增函数”，现给出的证法如下：

因为f（x）=e^x+，所以f′（x）=e^x﹣，

因为x＞0，所以e^x＞1，0＜＜1，所以e^x﹣＞0，即f′（x）＞0，

所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，使用的证明方法是（   ）

A．综合法      B．分析法       C．反证法    D．以上都不是

7. 难度：简单

复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（   ）

A．﹣3     B．3      C．﹣     D．

8. 难度：简单

复数z=的虚部为（   ）

A．2     B．﹣2     C．2i     D．﹣2i

9. 难度：简单

如图在复平面内，复数z₁，z₂对应的向量分别是 、，则复数的值是（   ）

A．﹣1+2i     B．﹣2﹣2i      C．1+2i     D．1﹣2i

10. 难度：简单

设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（   ）

A．2          B．﹣4         C．﹣2      D．4

11. 难度：中等

设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是C上的点，PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=30°，则C的离心率为（   ）

A．       B．         C．     D．

12. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若则抛物线的方程为（   ）

A．y²=4x     B．y²=8x      C．y²=16x   D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知椭圆：，左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF₂|+|AF₂|的最大值为5，则b的值是      ．

14. 难度：中等

在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是-，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是      ．

15. 难度：困难

已知点（2，5）和（8，3）是函数y=﹣k|x﹣a|+b与y=k|x﹣c|+d的图象仅有的两个交点，那么a+b+c+d的值为      ．

16. 难度：中等

已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=      ．

三、解答题

17. 难度：困难

已知点P（a，﹣1）（a∈R），过点P作抛物线C：y=x²的切线，切点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．

（Ⅰ）求x₁与x₂的值（用a表示）；

（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．

18. 难度：中等

如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．

（Ⅰ）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？

19. 难度：中等

已知命题p：实数m满足m²﹣7am+12a²＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．

20. 难度：中等

如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x²+y²﹣4y﹣4=0，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．

（1）试求双曲线的标准方程；

（2）记双曲线的左、右焦点为F₁、F₂，试在“8”字形曲线上求点P，使得∠F₁PF₂是直角．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=﹣alnx++x（a≠0）．

（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）））处的切线与直线x﹣2y=0垂直，求实数a的值；

（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅲ）当a∈（﹣∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤﹣e^﹣4．

22. 难度：中等

设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=．

（Ⅰ）求复数z；

（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．