2016届湖南师大附中高三上学期月考四理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知复数z满足＝1＋i(其中i为虚数单位)，则|z|为（   ）

A．2              B.              C．2(＋1)         D．2(－1)

2. 难度：简单

“cosα＝”是“cos 2α＝”的（   ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件    

C．充要条件           D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知函数y＝f(x)对任意自变量x都有f(x＋1)＝f(1－x)，且函数f(x)在[1，＋∞)上单调．若数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f(a₆)＝f(a₂₀)，则{a_n}的前25项之和为（   ）

A．0                  B.               C．25                        D．50

4. 难度：中等

为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（   ）

A.               B.                  C.                    D.

5. 难度：简单

如图，若Ω是长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁被平面EFGH截去几何体EFGHB₁C₁后得到的几何体，其中E为线段A₁B₁上异于B₁的点，F为线段BB₁上异于B₁的点，且EH∥A₁D₁，则下列结论中不正确的是（   ）

A．EH∥FG              B．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱           D．四边形EFGH可能为梯形

6. 难度：中等

某班有24名男生和26名女生，数据a₁，a₂…，a₅₀是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数A，男生平均分M，女生平均分W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数(负数)，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入（   ）

A．T>0？，A＝              B．T<0？，A＝        

C．T<0？，A＝              D．T>0？，A＝

7. 难度：简单

如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为（   ）

A．16π               B．              C．8π                 D．4π

8. 难度：简单

设实数x，y满足，则z＝＋的取值范围是（   ）

A.        B.        C.         D.

9. 难度：简单

设f(x)＝＋asin（）的最大值为3，则常数a＝（   ）

A．1           B．a＝1或a＝－5         C．a＝－2或a＝4             D．a＝±

10. 难度：中等

已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若＝1，＝－，则λ＋μ＝（   ）

A.                   B.                C.                     D.

11. 难度：困难

已知点P为双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左右焦点，且|F₁F₂|＝，G为三角形PF₁F₂的内心，若S_△GPF1＝S_△GPF2＋λS_△GF1F2成立， 则λ的值为（   ）

A.               B．2－1             C. ＋1               D. －1

12. 难度：困难

设函数f(x)＝对任意给定的y∈(2，＋∞)，都存在唯一的x∈R，满足f(f(x))＝2a²y²＋ay，则正实数a的最小值是（   ）

A.                B.                C．2               D．4

二、填空题

13. 难度：中等

若的展开式中x³项的系数为20，则a²＋b²的最小值为___________.

14. 难度：简单

在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为___________.

15. 难度：中等

在非等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin²(B＋C)<sin²B＋sin²C，则角A的取值范围为______________．

16. 难度：困难

设数列{a_n}满足：a₁＝，a_n＋1＝[a_n]＋，其中，[a_n]、{a_n}分别表示正数a_n的整数部分、小数部分，则a_{2 016}＝____________.

三、解答题

17. 难度：困难

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n＝S₂＋S_n对一切正整数n都成立．

（1）求a₁，a₂的值；

（2）设a₁>0，数列的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

18. 难度：中等

某商场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下：

（1）求表中a，b的值；

（2）若以上表中的频率作为概率，且每天的销售量相互独立．求：

①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；

②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和(单位：千元)，求ξ的分布列和期望．

19. 难度：中等

为了做好“双十一”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S－EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合(如图所示)．

（1）求证：平面SEG⊥平面SFH；

（2）当AE＝时，求二面角E－SH－F的余弦值．

20. 难度：中等

已知直线l：y＝x＋，圆O：x²＋y²＝4，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知动直线l₁ (斜率存在)与椭圆E交于P，Q两个不同点，且△OPQ的面积S_△OPQ＝1，若N为线段PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点A，B，使得直线NA与NB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B的坐标，若不存在，说明理由．

21. 难度：压轴

已知函数f(x)＝ln x＋＋b(a，b∈R)在定义域上单调，且函数的零点为1.

（1）求a(b＋2)的取值范围；

（2）若曲线y＝f(x)与x轴相切，求证＋＋＋…＋<ln n(n∈N且n>2)．

22. 难度：中等

已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥DC ，DC的延长线交PQ于点Q.

（1）求证： AC²＝CQ×AB；

（2）若AQ＝2AP，AB＝，BP＝2，求QD.

23. 难度：中等

在极坐标系中，已知射线C₁：θ＝ (ρ≥0)，动圆C₂：ρ²－2x₀ρcos θ＋－4＝0(x₀∈R)．

（1）求C₁，C₂的直角坐标方程；

（2）若射线C₁与动圆C₂相交于M与N两个不同点，求x₀的取值范围．

24. 难度：中等

已知a，b，c∈R，a²＋b²＋c²＝1.

（1）求a＋b＋c的取值范围；

（2）若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)²对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．