2016届云南省高三下第一次月考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

在121个学生中，一年级有25人，二年级有36人，三年级有60个，现抽取容量为20的样本．用系统抽样法：先随机去掉一人，再从剩余人员中抽取容量为20的样本，整个过程中每个体被抽取到的概率是（   ）

A．        B．     C．      D．不能确定，与去掉的人有关

2. 难度：简单

集合，若，则实数的取值范围是（   ）

A．      B．     C．       D．

3. 难度：简单

下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调增的函数是（   ）

A．    B．    C．     D．

4. 难度：简单

已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（   ）

A．         B．       C．       D．

5. 难度：简单

某程序框图如右图所示，当输出值为时，则输出的值为（   ）

A．64    B．32    C．16    D．8

6. 难度：简单

实数满足，若的最大值为13，则的值为（   ）

A．1       B．2       C．3        D．4

7. 难度：简单

已知函数①，②，则下列结论正确的是（   ）

A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形

B．两个函数的图象均关于直线成轴对称图形

C．两个函数在区间上都是单调递增函数

D．两个函数的最小正周期相同

8. 难度：中等

在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则等于（   ）

A．    B．    C．    D．

9. 难度：简单

已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（   ）

A．         B．        C．       D．

10. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（   ）

A．      B．160      C．     D．60

11. 难度：困难

椭圆的上下顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（   ）

A．   B．   C．   D．

12. 难度：中等

对于两个图形，我们将图形上的任意一点与图形上的任意一点间的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若两个函数图象的距离小于1，称这两个函数互为“可及函数”．给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是（   ）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

13. 难度：中等

展开式中项的系数为______．

14. 难度：中等

已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为______．

15. 难度：简单

设是的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数，如在排列中，5的顺序数为的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为______．

16. 难度：困难

已知定义在上的函数、满足，且，，有穷数列的前项和等于，则等于______．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列的前项和和通项满足，数列中，，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，求证：．

18. 难度：中等

某厨具是经过、、三道工序加工而成的，、、工序的产品合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．

（1）生产一个该厨具，求产品为二等品的概率；

（2）生产一个该厨具，设为三道加工工序中产品合格的工序数，求的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，．

（1）证明：；

（2）求二面角的平面角的余弦值；

（3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置．

20. 难度：简单

如图，已知椭圆的离心率为，且过点，四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点，．

（1）求的取值范围；

（2）求证：四边形的面积为定值．

21. 难度：中等

已知函数．

（1）若函数在上是减函数，求实数的最小值；

（2）若、，使成立，求实数的取值范围．

22. 难度：简单

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；

（2）将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到曲线向左平移1个单位，得到曲线．求曲线上的点到直线的距离的最小值．

23. 难度：简单

已知函数．

（1）当时，求函数的定义域；

（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．

24. 难度：简单

如图，已知是中边上的高，以为直径的分别交、于点、，点是的中点．．

（1）求证：是的切线；

（2）求值．