2016届湖南省高三下学期月考五理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

是虚数单位，复数（   ）

A．        B．        C．        D．

2. 难度：简单

若，是第三象限的角，则（   ）

A．        B．          C．       D．

3. 难度：简单

下列说法中，正确的是（   ）

A．数据的众数是

B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方

C．数据的标准差是数据的标准差的一半

D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数

4. 难度：简单

一质点运动时速度与时间的关系为，质点做直线运动，则此质点在时间内的位移为（   ）

A．       B．         C．         D．

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的正整数的可能取值的集合是（   ）

A．      B．       C．      D．

6. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（   ）

A.       B．     C．        D．

7. 难度：中等

若函数满足，则函数的单调递增区间是（   ）

A．        

B．

C．          

D．

8. 难度：简单

函数的图象向左平移个单位得函数的图象，则函数的解析式是（   ）

A．          

B．

C．        

D．

9. 难度：简单

设分别是的边，上的点，，且，若为实数），则的值为（   ）

A．       B．        C．         D．

10. 难度：中等

设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（   ）

A．          B．        C．         D．

11. 难度：简单

设是由任意个人组成的集合，如果中任意个人当中都至少有个人认识其余个人，那么，下面的判断中正确的是（   ）

A．中没有人认识中所有的人

B．中至多有人认识中所有的人

C．中至多有人不认识中所有的人

D．中至少有人认识中所有的人

12. 难度：简单

若满足，满足，则（   ）

A．        B．      C．      D．

二、填空题

13. 难度：简单

在的二次展开式中，的系数为_____．

14. 难度：中等

观察下列等式：

                    

                 

              

          

      

．．．                      ．．．

可以推测：_____．（，结果用含有的代数式表示）

15. 难度：简单

设为实数，若，则的取值范围为____．

16. 难度：简单

已知，若存在，满足，则称是的一个“友好”三角形．若等腰存在“友好”三角形，则其顶角的度数为____．

三、解答题

17. 难度：中等

在等比数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，且为递增数列，若，求证：．

18. 难度：困难

如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，底面，，，是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．

19. 难度：中等

名学生干部（名单见表）进行内部评优，每人根据评分标准为自己和其他人打分，分值取到的整数．对某名干部的得分计算均值和标准差，计区间内的得分我“有效得分”，则这名干部的最终得分为其有效得分的平均分，最终得分最高的前名干部评为优秀干部．

（1）表为贝航的原始得分，请据此计算表中的值（保留两位小数），并判断贝航是否被评为了优秀

干部；

（2）现从这十名干部中随机抽取人前往香港大学进行为期两天的交流访问，设所选取的人中女生人数

为，优秀干部人数为，求概率．

表

表

参考数据：．

20. 难度：困难

如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为

（1）求曲线的方程；

（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点．

①求证：不可能是钝角；

②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由．

21. 难度：简单

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，证明：．

22. 难度：中等

如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交和圆于点，若．

（1）求证：；

（2）求的值．

23. 难度：中等

已知曲线为参数)，为参数)．

（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求的中点到直线为

参数)距离的最小值．

24. 难度：中等

已知函数．

（1）当时，求函数的最大值；

（2）解关于的不等式．