2016届安徽省高三下学期综合训练一理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知全集，集合，，那么（   ）

A．            B．

C．               D．

2. 难度：简单

在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（   ）

A．第一象限          B．第二象限            C．第三象限            D．第四象限

3. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列中，若（），数列的前项积为，若，则的值为（   ）

A．               B．                 C．                 D．

4. 难度：简单

已知函数（）的最小正周期为，则在区间上的值域为（   ）

A．               B．                 C．                 D．

5. 难度：简单

执行如图的程序框图，那么输出的值是（   ）

A．               B．                 C．                 D．

6. 难度：中等

在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（   ）

A．           B．             C．             D．

7. 难度：中等

在中，，，分别是角，，所对边的边长，若，则的值是（   ）

A．               B．                 C．                 D．

8. 难度：中等

一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：），则该几何体的体积为（   ）

A．           B．             C．             D．

9. 难度：简单

在中，，，分别为的重心和外心，且，则的形状是（   ）

A．锐角三角形           B．钝角三角形

C．直角三角形          D．上述三种情况都有可能

10. 难度：困难

平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为（   ）

A．         B．           C．           D．

11. 难度：困难

已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是、．已知点坐标为，双曲线上点（，）满足，则（   ）

A．           B．             C．             D．

12. 难度：困难

定义在上的函数满足，当时，，函数．若，，不等式成立，则实数的取值范围是（   ）

A．           B．             C．             D．

二、填空题

13. 难度：中等

设，则的展开式中常数项是            ．

14. 难度：中等

以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于；

③某项测量结果服从正态分布，，则；

④对于两个分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大．

以上命题中其中真命题的个数为            ．

15. 难度：中等

已知圆和两点，（），若圆上存在点，使得，则的取值范围是            ．

16. 难度：中等

是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为       ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列的前项和为，向量，，满足条件．

（1）求数列的通项公式；

（2）设函数，数列满足条件，．

①求数列的通项公式；

②设，求数列的前项和．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值；

（3）设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．

19. 难度：中等

心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男女），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表（单位：人）：

（1）能否据此判断有%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在分钟，现甲、乙各解答同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；

（3）现从选择做几何题的名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被．

抽到的人数为，求的分布列及数学期望．

附表及公式：

20. 难度：压轴

已知椭圆（）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

21. 难度：简单

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

（3）对于在区间上的任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由．

22. 难度：中等

如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点，垂直交圆于点．

（1）证明：；

（2）设圆的半径为，，延长交于点，求外接圆的半径．

23. 难度：中等

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线（），过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点．

（1）写出曲线的平面直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若，，成等比数列，求实数的值．

24. 难度：简单

已知函数．

（1）解不等式；

（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．