2016届湖北省高三2月份七校联考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

复数（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（  ）

A．的实部为 B．的虚部为  C．    D．

2. 难度：中等

已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（  ）

A．    B．     C．   D．

3. 难度：简单

下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（  ）

A．        B．       C．  D．

4. 难度：中等

定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为(  )

A．      B．           C．          D．

5. 难度：简单

以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）

甲组		乙组
	9	0	9
	2	1	5		8
7	4	2	4

已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为（   ）

A．     B．    C．    D．

6. 难度：简单

设实数列和分别是等差数列与等比数列，且，，则以下结论正确的是（   ）

A．         B．         C．             D．

7. 难度：中等

在中，点在线段上，且，点在线段上(与点不重合).若，则的取值范围是(    )

A．    B．      C．       D．

8. 难度：困难

我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（   ）

A ．       B．        C．        D ．

9. 难度：简单

已知若，则直线的倾斜角为（  ）

A．      B．        C．       D．

10. 难度：简单

在平面直角坐标系中，点为双曲线的右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为（   ）

A．     B．     C．       D．

11. 难度：简单

某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（    ）

A．               B．      C．               D．

12. 难度：中等

已知函数的图像在点处的切线方程，若函数满足（其中为函数的定义域），当时，恒成立，则称为函数的“转折点”.已知函数在上存在一个“转折点”，则的取值范围为（   ）

A．         B．      C．     D．

二、填空题

13. 难度：简单

已知函数，则的值为        .

14. 难度：中等

已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为          .

15. 难度：简单

若的展开式所有的系数之和为81，则直线与曲线所围成的封闭区域面积为         .

16. 难度：简单

已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列的前项和为，且满足.

（I）求数列的通项公式；(II)设，求数列的前项和.

18. 难度：简单

如右下图，在四棱锥中，直线平面,,，

（I）求证：直线平面.

（II）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值

19. 难度：中等

心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）

（I）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（II）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．

（III）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．

附表及公式

20. 难度：困难

已知圆圆动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线.

（I）求的方程.

（II）若直线与曲线交于两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时总有? 若存在，请说明理由.

21. 难度：压轴

已知函数，.

（I）记，证明在区间内有且仅有唯一实根；

（II）记在内的实根为，，若在有两不等实根，判断与的大小，并给出对应的证明.

22. 难度：中等

如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．

（I）求证：；

（II）求的值.

23. 难度：中等

在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，正三角形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的坐标为．

（I）求点的直角坐标；

（II）设是圆上的任意一点，求的取值范围．

24. 难度：简单

已知函数．

（I）当时，求不等式的解集；

（II）若的解集包含，求实数的取值范围.