2015-2016学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

角θ的终边过点P（﹣1，2），则sinθ=（  ）

A．    B．    C．﹣    D．﹣

2. 难度：简单

已知向量，，则与（  ）

A．垂直   

B．不垂直也不平行

C．平行且同向   

D．平行且反向

3. 难度：简单

=（  ）

A．    B．    C．    D．

4. 难度：中等

函数的零点所在的区间是（  ）

A．    B．    C．    D．

5. 难度：简单

在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（  ）

A．    B．    C．﹣    D．﹣

6. 难度：简单

若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（  ）

A．5    B．4    C．3    D．2

7. 难度：简单

设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=（  ）

A．    B．1    C．2    D．3

8. 难度：中等

将函数的图象上各点的横坐标变为原来的π倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的解析式是（  ）

A．   

B．

C．   

D．

9. 难度：简单

设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（  ）

A．    B．2    C．    D．4

10. 难度：中等

下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（  ）

A．   

B．

C．   

D．

11. 难度：简单

函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象大致是（  ）

A．    B．    C．    D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=（）^x﹣log₂x，实数a、b、c满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若实数x₀是方程f（x）=0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是（  ）

A．x₀＜a    B．x₀＞b    C．x₀＜c    D．x₀＞c

二、填空题

13. 难度：中等

函数的单调递减区间是      ．

14. 难度：中等

若x=log₄3，（2^x﹣2^﹣x）²=     ．

15. 难度：中等

已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，（a，b，α，β为非零实数），f（2015）=5，则f（2016）=      ．

16. 难度：困难

给出下列命题：

①若，则；

②若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则；

③已知是三个非零向量，若；，则；

④已知λ₁＞0，λ₂＞0，是一组基底，=λ₁+λ₂，则与不共线，与也不共线；

⑤与共线⇔．

其中正确命题的序号是      ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知，与的夹角为120°，

求：（1）；

（2）．

18. 难度：中等

设函数f（x）=﹣x²+2x+a（0≤x≤3，a≠0）的最大值为m，最小值为n．

（1）求m，n的值（用a表示）；

（2）若角θ的终边经过点P（m﹣1，n+3），求的值．

19. 难度：中等

已知，且．

（1）求sinα+cosα的值；

（2）若，且5sin（2α+β）=sinβ，求角β的大小．

20. 难度：困难

某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

x	x1		x2		x3
ωx+ϕ	0		π		2π
Asin（ωx+ϕ）	0		0		0

（1）请写出上表的x₁、x₂、x₃，并直接写出函数的解析式；

（2）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小；

（3）求△OQP的面积．

21. 难度：中等

由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为y=．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．

（1）判断函数的单调性（不必证明）；

（2）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？

（3）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．

22. 难度：中等

设a为实数，函数的最大值为g（a）．

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）设，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域；

（3）求g（a）．