2012-2013学年山东省潍坊市奎文一中高三（上）12月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A．3
B．6
C．8
D．10

2. 难度：中等

已知两非零向量，，则“•=||||”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知直线l₁：（k-3）x+（4-k）y+1=0，与l₂：2（k-3）x-2y+3=0，平行，则K得值是（ ）
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2

4. 难度：中等

平面直角坐标系中，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足=λ₁+λ₂（O为原点），其中λ₁，λ₂∈R，且λ₁+λ₂=1，则点C的轨迹是（ ）
A．直线
B．椭圆
C．圆
D．双曲线

5. 难度：中等

已知函数f（x）=4-x²，g（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log₂x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

各项都是正数的等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₁成等差数列，则的值为（ ）
A．
B．
C．-
D．或

7. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b²+c²-a²），则∠B=（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

8. 难度：中等

若圆C：x²+y²+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

9. 难度：中等

已知直线a和平面α，β，α∩β=l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系是（ ）
A．相交或平行
B．相交或异面
C．平行或异面
D．相交﹑平行或异面

10. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F₂交椭圆于E，且E是直线EF₁与⊙F₂的切点，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（ ）

A．12π
B．24π
C．36π
D．48π

12. 难度：中等

定义f（M）=（m，n，p），其中M是△ABC内一点，m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积，已知△ABC中，，∠BAC=30°，，则的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．16
D．18

二、填空题

13. 难度：中等

设O为坐标原点，A（1，2），若点B（x，y）满足，则取得最小值时，点B的坐标是    ．

14. 难度：中等

若函数在[-1，1]上是单调增函数，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为，外接球的体积是，则A、B两点的球面距离为    ．

16. 难度：中等

给出以下五个命题：
①命题“∀x∈R，x²+x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，x²+x+1＜0”．
②已知函数f（x）=k•cosx的图象经过点P（，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于
③a=1是直线y=ax+1和直线y=（a-2）x-1垂直的充要条件．
④函数在区间（0，1）上存在零点．
⑤已知向量与向量的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（）
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=（cosωx-sinωx，sinωx），=（-cosωx-sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

18. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若恒成立，求k的取值范围．

19. 难度：中等

函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的取值范围．

20. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．
（1）求三棱锥C-PBD的体积；
（2）如果E是PA的中点，求证PC∥平面BDE；
（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．

21. 难度：中等

已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．
（1）若函数g（x）在x=1处有极值，求g（x）的解析式；
（2）若函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，且b²-mb+4≥g（x）在x∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不为0，求证：k_QB•k_QC为定值；
（3）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当时，证明：点P在一定圆上．