2012-2013学年山东省淄博市高三复习月考数学试卷4（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（ ）条件
A．充要
B．充分非必要
C．必要非充分
D．既非充分又非必要

3. 难度：中等

“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a-1）y=a-7平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设F是椭圆的右焦点，椭圆上的点与点F的最大距离为M，最小距离是m，则椭圆上与点F的距离等（M+m）的点的坐标是（ ）
A．（0，±2）
B．（0，±1）
C．
D．

5. 难度：中等

斜率为2的直线l过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）

A．e＜
B．1＜e＜
C．1＜e＜
D．e＞

6. 难度：中等

已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′（斜二测画法）是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为（ ）
A．a²
B．a²
C．a²
D．a²

7. 难度：中等

如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：
①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；
②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；
③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图．
其中真命题的个数是 （ ）

A．3
B．2
C．1
D．0

8. 难度：中等

设F₁、F₂分别是双曲线x²-=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（ ）
A．
B．2
C．
D．2

9. 难度：中等

如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（ ）
A．D、E、F
B．F、D、E
C．E、F、D
D．E、D、F

10. 难度：中等

直线与圆O：x²+y²=4交于A、B两点，则=（ ）
A．2
B．-2
C．4
D．-4

11. 难度：中等

由直线y=x+2上的点向圆（x-4）²+（y+2）²=1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若过点A（4，0）的直线l与曲线（x-2）²+y²=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

求抛物线y=4x²上的点到直线y=4x-5的最近距离    ．

14. 难度：中等

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率是2，则的最小值是    ．

15. 难度：中等

我们把离心率为的双曲线称为黄金曲线，O为坐标原点，如图所示，给出以下几个命题：
①双曲线是黄金曲线；
②若b²=ac，则该双曲线是黄金曲线；
③若，则该双曲线是黄金曲线；
④若∠MON=90°，则该双曲线是黄金曲线；
其中正确的是    ．

16. 难度：中等

若双曲线实轴长为6，且渐近线方程是y=±x，则这条双曲线的方程是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知两点A（4，4）、B（6，3）到直线l的距离相等，且l过两直线l₁：2x-y-3=0和 l₂：x+y-3=0的交点，求直线l的方程．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x-y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

19. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在AB上．
（Ⅰ）求证：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）当时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

20. 难度：中等

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0），B（0，-b）两点，原点O到直线l的距离是．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若•=-23，求直线m的方程．

21. 难度：中等

养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3）哪个方案更经济些？

22. 难度：中等

如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y²=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．
（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（2）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2α为定值，并求此定值．