2012-2013学年河南省郑州外国语学校高三（上）12月月末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a，b为实数，若复数，则（ ）
A．
B．a=3，b=1
C．
D．a=1，b=3

2. 难度：中等

集合P={y|y=sinx，x∈R}，M={a，a²}．若P∪M=P，则a的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．（-1，0）∪（0，1）
C．[-1，0）∪（0，1）
D．（-∞，-1]∪（1，+∞）

3. 难度：中等

关于x的不等式ax-b＞0的解集为（2，+∞），则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（-2，3）
B．（-∞，-2）∪（3，+∞）
C．（2，3）
D．（-∞，-3）∪（2，+∞）

4. 难度：中等

已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

如图，给出的是的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（ ）
A．i≤99
B．i＜99
C．i≥99
D．i＞99

6. 难度：中等

已知f（x）=3sinx-πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（ ）
A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0
B．p是假命题，￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0
C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0
D．p是真命题，￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0

7. 难度：中等

在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm²的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

从抛物线y²=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．15

9. 难度：中等

设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：
①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；
②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；
③若m⊂α，m∥n，则n∥α；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题为（ ）
A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①③④

10. 难度：中等

已知曲线方程f（x）=sin²x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（-1，0）
B．（-∞，-1）∪（0，+∞）
C．（-1，0）∪（0，+∞）
D．a∈R且a≠0，a≠-1

11. 难度：中等

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且f（1）=2，则f（1003）=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

12. 难度：中等

设{a_n}是等比数列，公比q=，S_n为{a_n}的前n项和．记，n∈N^*，设T^_n为数列{T_n}的最大项，则n=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

二、填空题

13. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₁+a₂=4，a₁₀+a₉=36，则S₁₀=    ．

14. 难度：中等

如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为    ．

15. 难度：中等

如图，已知两个同心圆的半径分别为1、2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是大圆的割线，它与小圆距P最近的公共点是M，则的取值范围是    ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：
①f（x）=sin（2x-）的对称轴为；
②函数f（x）=sinx+的最大值为2；
③函数f（x）=sinx•cosx-1的周期为2π；
④函数f（x）=sin（2x+）在[0，]上的值域为[-]．
其中正确命题的是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（cosA，sinA），=（），若||=2．（1）求角A的大小；（2）若的面积．

18. 难度：中等

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米． 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别	PM2.5浓度 （微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	（0，25]	5	0.25
第二组	（25，50]	10	0.5
第三组	（50，75]	3	0.15
第四组	（75，100）	2	0.1

（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E为CD的点．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF∥平面SAE？并证明你的结论．

20. 难度：中等

已知△ABC的边AB所在直线的方程为x-3y-6=0，M（2，0）满足，点T（-1，1）在AC所在直线上且．   
（1）求△ABC外接圆的方程；
（2）一动圆过点N（-2，0），且与△ABC的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹方程Γ；
（3）过点A斜率为k的直线与曲线Γ交于相异的P，Q两点，满足，求k的取值范围．

21. 难度：中等

已知a为实数，函数f（x）=x³-ax²（x∈R）．
（1）若f′（1）=5，求a的值及曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

22. 难度：中等

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若EF²=FA•FB，证明：EF∥CD．

23. 难度：中等

已知曲线C₁的参数方程为（θ为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．
（1）将曲线C₁的参数方程化为普通方程，将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线C₁，C₂是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|x-1|+|x-a|，
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．