2012-2013学年广东省广州市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数1+i（i为虚数单位）的模等于（ ）
A．
B．1
C．
D．

2. 难度：中等

已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（ ）
A．{0}
B．{0，4}
C．{2，4}
D．{0，2，4}

3. 难度：中等

已知函数，则的值是（ ）
A．9
B．-9
C．
D．

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃+a₄+a₅=12，则S₇的值为（ ）
A．56
B．42
C．28
D．14

5. 难度：中等

已知e为自然对数的底数，函数y=xe^x的单调递增区间是（ ）
A．[-1，+∞）
B．（-∞，-1]
C．[1，+∞）
D．（-∞，1]

6. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

7. 难度：中等

如图，程序结束输出s的值是（ ）
A．30
B．55
C．91
D．140

8. 难度：中等

已知函数f（x）=（1-cos2x）•cos²x，x∈R，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数

9. 难度：中等

在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在R上定义运算⊕：x⊗y=x（1-y）若对任意x＞2，不等式（x-a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，7]
B．（-∞，3]
C．（-∞，7]
D．（-∞，-1]∪[7，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

已知f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+4，g（1）=2，则f（-1）的值是    ．

12. 难度：中等

已知向量，都是单位向量，且•=，则|2-|的值为    ．

13. 难度：中等

设f₁（x）=cosx，定义f_n+1（x）为f_n（x）的导数，即f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N^*，若△ABC的内角A满足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=0，则sinA的值是    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4，PB=2，则PC的长是    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若，求的值．

17. 难度：中等

某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．
（1）求x和y的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差s²；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
参考公式：方差，其中．

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P-ABCD的侧视图和俯视图．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求四棱锥P-ABCD的侧面PAB的面积．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n+1}是公比为2的等比数列，a₂是a₁和a₃的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+1=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在t∈N^*，使得方程在区间（t，t+1）内有两个不等的实数根？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点F重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若过点A（-1，0）的直线与椭圆C₁相交于M、N两点，求使成立的动点R的轨迹方程；
（3）若点R满足条件（2），点T是圆（x-1）²+y²=1上的动点，求|RT|的最大值．