2012-2013学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中，正确的个数有（ ）
（1）抛物线y=2x²的准线方程为；
（2）双曲线的渐近线方程为y=±2x；
（3）椭圆的长轴长为2；
（4）双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为1．
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

若双曲线以y=±2x为渐近线，且A（1，0）为一个顶点，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题中真命题的个数为（ ）
①若l∥α，m∥l，m⊥β，则α⊥β；
②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若m，n为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β．
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

已知A₁，A₂分别是双曲线的左、右顶点，P为直线（c为半焦距）上的一点，△A₂PA₁是底角为30°的等腰三角形，则双曲线E的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长为2，则这个三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．
B．4π
C．
D．16π

6. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，E是BC中点，若PA=AB，则异面直线PE与AB所成角的余弦值（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，则p的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为的正三角形，且圆与三角形内切，则该几何体侧视图的面积为（ ）

A．4+π
B．
C．6+3π
D．6+π

9. 难度：中等

已知F是双曲线的右焦点，，P是双曲线右支上的动点，则|PA|-|PF|的最小值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6

10. 难度：中等

已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD的中点，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）MN⊥AB；            
（2）V_A-MCD=V_B-MCD；     
（3）平面CDM⊥平面ABN； 
（4）CM与AN是相交直线．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4个

11. 难度：中等

已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂（k₁k₂≠0），若椭圆的离心率为，则|k₁|+|k₂|的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

12. 难度：中等

设点P是椭圆与圆x²+y²=3b²的一个交点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，且|PF₁|=3|PF₂|，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，且椭圆C与椭圆的离心率相同，过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF₂的周长为，那么椭圆C的方程为    ．

14. 难度：中等

如图所示几何体的三视图，则该几何体的体积为    ．

15. 难度：中等

抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M是抛物线C上一动点，，过M作MN垂直准线l，垂足为N，若|MN|+|MA|的最小值为2，则抛物线C的方程为    ．

16. 难度：中等

已知点P，A，B，C，D都是直径为3的球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，若PA=1，则几何体P-ABCD的体积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，PA⊥底面ABCD其中AB⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=PA=2AB，E是PC中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求异面直线PD与BC所成角的余弦值．

18. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠CAA₁=60°，AA₁=2AC，BC⊥平面AA₁C₁C．
（1）证明：A₁C⊥AB；
（2）设BC=AC=2，求三棱锥C-A₁BC₁的体积．

19. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为直线与抛物线在x轴上方的交点为M，过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，若四边形OFMN的面积为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若P，Q是抛物线上异于原点O的两动点，且以线段PQ为直径的圆恒过原点O，求证：直线PQ过定点，并指出定点坐标．

20. 难度：中等

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，AB=BC=2，．
（1）求证：BC⊥平面A₁ABB₁；
（2）求直线A₁B与平面A₁AC成角的正弦值．

21. 难度：中等

设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．
（1）求点P的轨迹M的方程；
（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于A，B两点，求的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点为F₁，F₂，且离心率为．
（1）若过F₁的直线交椭圆E于P，Q两点，且，求直线PQ的斜率；
（2）若椭圆E过点（0，1），且过F₁作两条互相垂直的直线，它们分别交椭圆E于A，C和B，D，求四边形ABCD面积的最大值和最小值．