2012-2013学年吉林省松原市宁江区油田高中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若x∈R，则“x＞1”，则“x²＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

2. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=-16，a₄=8，则a₇=（ ）
A．-4
B．±4
C．-2
D．±2

3. 难度：中等

已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=a_n+2n，那么a₁₀的值是（ ）
A．110
B．100
C．90
D．72

5. 难度：中等

在△ABC中，若a²+b²-c²＜0，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．都有可能

6. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x²-4x+3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题
D．命题p：“∃x∈R使得x²+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x²+x+1≥0”

7. 难度：中等

如图所示，椭圆C₁、C₂与双曲线C₃、C₄的离心率分别是e₁、e₂与e₃、e₄，e₁、e₂、e₃、e₄的大小关系是（ ）

A．e₂＜e₁＜e₃＜e₄
B．e₂＜e₁＜e₄＜e₃
C．e₁＜e₂＜e₃＜e₄
D．e₁＜e₂＜e₄＜e₃

8. 难度：中等

双曲线-=1的两个焦点分别是F₁，F₂，双曲线上一点P到F₁的距离是12，则P到F₂的距离是（ ）
A．17
B．7
C．7或17
D．2或22

9. 难度：中等

点P在椭圆+上，F₁，F₂为焦点 且∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积为（ ）
A．
B．4
C．
D．

10. 难度：中等

若，则线性目标函数z=x+2y的取值范围是（ ）
A．[2，5]
B．[2，6]
C．[3，5]
D．[3，6]

11. 难度：中等

椭圆和双曲线的公共焦点为F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，那么|PF₁|•|PF₂|的值是（ ）
A．m-a
B．m²-a²
C．
D．

12. 难度：中等

过原点的直线l与双曲线y²-x²=1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A．（-1，1）
B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C．（-1，0）∪（0，1）
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y+1的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为    ．

15. 难度：中等

已知B（-6，0）、C（6，0）是△ABC 的两个顶点，内角A、B、C满足sinB-sinC=sinA，则顶点A的轨迹方程为    ．

16. 难度：中等

以下各个关于圆锥曲线的命题中
①设定点F₁（0，-3），F₂（0，3），动点P（x，y）满足条件|PF₁|+|PF₂|=a（a＞0），则动点P的轨迹是椭圆或线段；
②过点（0，1）作直线，使它与抛物线y²=4x仅有一个公共点，这样的直线有3条；
③离心率为，长轴长为8的椭圆标准方程为；
④若3＜k＜4，则二次曲线的焦点坐标是（±1，0）．
其中真命题的序号为    （写出所有真命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知a=3，c=2，B=150°，求边b的长及S_△．

18. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₆=10，S₅=5，求a₈和S₈．

19. 难度：中等

命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：∀x∈[1，2]，x²-a≥0，若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点P（4，）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：=0；
（3）求△F₁MF₂的面积．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy 中，点M 到两定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离之和为4，设点M 的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C 的方程；   
（2）若直线l：y=kx+m 与曲线C 相交于不同两点A、B （A、B 不是曲线C 和坐标轴的交点），以AB 为直径的圆过点D（2，0），试判断直线l 是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．