2012-2013学年福建师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，1}，B={x|1≤2^x＜4}，则A∩B等于（ ）
A．{-1，0，1}
B．{1}
C．{-1，1}
D．{0，1}

2. 难度：中等

若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为（ ）
A．-2
B．2
C．1
D．-1

3. 难度：中等

“2＜x＜3”是“x（x-5）＜0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知向量，则向量的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

给出命题：已知a、b为实数，若a+b=1，则ab≤．在它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

6. 难度：中等

下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

把函数的图象向左平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的解析式为（ ）
A．y=5sin
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在同一个坐标系中画出函数y=a^x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知，，，，则的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．

10. 难度：中等

如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得，乙同学在Rt△ACH中解得，据此可得cos72°的值所在区间为（ ）

A．（0.1，0.2）
B．（0.2，0.3）
C．（0.3，0.4）
D．（0.4，0.5）

二、填空题

11. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，若a₃+a₄+a₅=9，则S₇=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB=2sinC，，则A=    ．

13. 难度：中等

函数f（x）=cos²x+sinxcosx（ ）的取值范围是    ．

14. 难度：中等

偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，则关于x的方程上解的个数是    个．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为，则数列中数值最大的项是第    项．

16. 难度：中等

如图△ABC中，AD=2DB，2AE=EC，BE∩CD=P若，则x+y=    ．

17. 难度：中等

将方程x+tanx=0的正根从小到大地依次排列为a₁，a₂，…，a_n，…，给出以下不等式：①；②；③2a_n+1＞a_n+2+a_n；④2a_n+1＜a_n+2+a_n；其中，正确的判断是    ．（请写出正确的序号）

三、解答题

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足T_n=1-b_n
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）在{a_n}中是否存在使得是{b_n}中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A₁处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B₁处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A₂处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B₂处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

20. 难度：中等

如图，9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q，已知a₁₂=1，，又设第一行数列的公差为d₁．
（Ⅰ）求出a₁₁，d₁及q；
（Ⅱ）若保持这9个数的位置不动，按照上述规律，补成一个n行n列的数表如下，试写出数表第n行第n列a_nn的表达式，并求S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn的值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（2x+θ），其中A≠0，，试分别解答下列两小题．
（I）若函数f（x）的图象过点E，求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）如图，点M，N分别是函数y=f（x）的图象在y轴两侧与x轴的两个相邻交点，函数图象上的一点P（t，）满足，求函数f（x）的最大值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=21nx+ax²-1 （a∈R）
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=l，试解答下列两小题．
（i）若不等式f（1+x）+f（1-x）＜m对任意的0＜x＜l恒成立，求实数m的取值范围；
（ii）若x₁，x₂是两个不相等的正数，且以f（x₁）+f（x₂）=0，求证：x₁+x₂＞2．