2012-2013学年浙江省宁波四中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合I={-2，-1，0，1，2}，A={1，2}，B={-2，-1，1，2}，则A∪（C_IB）=（ ）
A．1
B．1，2
C．2
D．0，1，2

2. 难度：中等

若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

方程2^x-1+x=5的解所在的区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

4. 难度：中等

设sin（+θ）=，则sin2θ=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

5. 难度：中等

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB₁D₁
B．AC₁⊥BD
C．AC₁⊥平面CB₁D₁
D．异面直线AD与CB₁所成的角为60°

6. 难度：中等

已知a是实数，则函数f（x）=sinax的导函数的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

过双曲线的焦点F作渐近线的垂线l，则直线l与圆O：x²+y²=a²的位置关系是（ ）
A．相交
B．相离
C．相切
D．无法确定

8. 难度：中等

若圆C：x²+y²+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

9. 难度：中等

已知，则的最小值为（ ）
A．4
B．
C．2
D．

10. 难度：中等

设 P（x，y），Q（x′，y′） 是椭圆 （a＞0，b＞0）上的两点，则下列四个结论：①a²+b²≥（x+y）²；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

11. 难度：中等

已知的最小值为    ．

12. 难度：中等

一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为    ．

13. 难度：中等

已知f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x²，则f（7）=    ．

14. 难度：中等

设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足取得最小值时，点B的坐标是    ．

15. 难度：中等

已知m，n表示不同直线，α，β，γ表示不同平面．
①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β
②若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则n⊥m
③若α⊥β，α⊥γ=m，β∩γ=m．则m⊥α
④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
以上四个命题中真命题为    ．

16. 难度：中等

已知抛物线y=-x²+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=    ．

17. 难度：中等

称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a），（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减，则以下函数是好函数的有    （填写函数编号）
①y=|x-2|；
②y=x|x-2|；
③y=x³-3x+1；
④y=x³+x+3．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数
（ I）当，求f（x）的值域；
（II）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}、{b_n}满足：．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）设，求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅲ）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，不等式4aS_n＜b_n恒成立时，求实数的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点在椭圆C上，抛物线E以椭圆C的中心为顶点，F₂为焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点F₂，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点．
①若F₁B⊥F₂B，求|AF₂|-|BF₂|的值；
②试探究：线段AB与F₂D的长度能否相等？如果|AB|=|F₂D|，求直线l的方程．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．