2012-2013学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a∈R，则a=2是（a-1）（a-2）=0的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知命题p：，则（ ）
A．￢p：
B．￢p：
C．￢p：
D．￢p：

4. 难度：中等

如图：在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁与B₁D₁的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

有以下命题：
①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；
③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．
其中正确的命题是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

6. 难度：中等

若点P到直线x=-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

7. 难度：中等

设椭圆C₁的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为30．若曲线C₂上的点到椭圆C₁的两个焦点的距离的差的绝对值等于10，则曲线C₂的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

“k＞9”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件

9. 难度：中等

已知抛物线y²=8x，过点A（2，0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中点P到y轴的距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．8

10. 难度：中等

连接抛物线x²=4y的焦点F与点M（1，0）所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是双曲线-=1（a＞b＞0）的两个焦点，A和B是以O（O为坐标原点）为圆心，|OF₁|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．+1

12. 难度：中等

设点P（x，y）是曲线上的点，又点F₁（-4，0），F₂（4，0），下列结论正确的是（ ）
A．|PF₁|+|PF₂|=10
B．|PF₁|+|PF₂|＜10
C．|PF₁|+|PF₂|≤10
D．|PF₁|+|PF₂|＞10

二、填空题

13. 难度：中等

命题“若a=-1，则a²=1”的否命题是    ．

14. 难度：中等

已知向量．若与的夹角为60°，则实数k=    ．

15. 难度：中等

已知双曲线的右焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于    ．

16. 难度：中等

已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F．设线段AB的中点为M，若，则该椭圆离心率的取值范围为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知命题p：不等式（x-1）²＞m-1的解集为R，命题q：f（x）=（5-2m）^x是R上的增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

如图，设P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．

19. 难度：中等

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

21. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点，BB₁⊥平面ABC
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面A₁BD的距离．

22. 难度：中等

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF₂．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；                      
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围．