2005-2006学年湖南省百校大联考高三（上）第二次考试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若（1-i）（a+2i）=bi（a，b∈R），则b=（ ）
A．-2
B．-1
C．2
D．4

2. 难度：中等

已知 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（ ）
A．15
B．-15
C．20
D．-20

3. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|kx-y≤2}，其中x，y∈R，若A⊆B，则实数k的取值范围是（ ）
A．[0，]
B．[-，0]
C．[-，]
D．[-，+∞）

4. 难度：中等

已知命题，若￢p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1
B．a≤1
C．a＜2
D．a≤2

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₉=18，S_n=240，a_n-4=30，则n=（ ）
A．18
B．17
C．16
D．15

6. 难度：中等

一个棱长均为a的正三棱柱内接于球，则该球的表面积为（ ）
A．
B．2πa²
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数，且，则的值等于（ ）
A．8
B．-8
C．4
D．-4

8. 难度：中等

正方形ABCD中，E、F为AB、CD的中点，M、N为AD、BC的中点，将正方形沿MN折成一个直二面角，则异面直线MF与NE所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知随机变量ξ+η=8，若ξ～B（10，0.6），则Eη，Dη分别是（ ）
A．6和2.4
B．2和2.4
C．2和5.6
D．6和5.6

10. 难度：中等

若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（ ）

A．（-∞，-1）
B．（-1，2）
C．（1，2）
D．（0，2）

二、填空题

11. 难度：中等

函数y=sin²x-sin⁴x的最小正周期T=    ．

12. 难度：中等

过原点作y=lgx的切线，切点坐标为    ．

13. 难度：中等

已知x₁•x₂•x₃…x₂₀₀₆=1，且x₁，x₂，…，x₂₀₀₆都是正数，则（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₂₀₀₆）的最小值是    ．

14. 难度：中等

椭圆的离心率为，则m=    ．

15. 难度：中等

△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-a，0），（a，0）（a＞0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于k．
①若k=-1，则△ABC是直角三角形；
②若k=1，则△ABC是直角三角形；
③若k=-2，则△ABC是锐角三角形；
④若k=2，则△ABC是锐角三角形．
以上四个命题中正确命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D、E分别为AB、BC的中点，且•=•．
（1）求证：a²，b²，c²成等差数列；
（2）求∠B及sinB+cosB的取值范围．

17. 难度：中等

甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮； 已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为、；
（1）在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求Eξ；
（2）若第n次由甲投篮的概率为a_n，求a_n与a_n-1的关系式，并求．

18. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，P是侧棱AA₁上任意一点．
（1）求证：B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直；
（2）当BC₁⊥B₁P时，求二面角C-B₁P-C₁的大小．

19. 难度：中等

已知函数．
（1）是否存在a＜b且a，b∈[1，+∞），使得当函数f（x）的定义域为[a，b]时，值域为？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由；
（2）若存在实数a，b（a＜b），使得函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0），求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．
（1）求证：直线MN必过定点，并写出此定点坐标；
（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程．

21. 难度：中等

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N⁺，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求证：a_n²=2S_n-a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*）试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．