2012-2013学年安徽省安庆市望江中学高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z满足z（2-i）=11+7i，则z=（ ）
A．3+5i
B．3-5i
C．-3+5i
D．-3-5i

2. 难度：中等

若，，则sinθ=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

函数y=f（2x-1）是偶函数，则函数y=f（2x）的对称轴是（ ）
A．x=0
B．x=-1
C．x=
D．x=-

4. 难度：中等

已知函数的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=f（x）的图象在P处切线l，（如图）则f（2）+f′（2）的值（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知a是函数的零点，若0＜x＜a，则f（x）的值满足（ ）
A．f（x）=0
B．f（x）＞0
C．f（x）＜0
D．f（x）的符号不确定

7. 难度：中等

等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，若=，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知A．B．C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足=（λ∈R），则P的轨迹一定过△ABC的（ ）
A．内心
B．垂心
C．重心
D．AC边的中点

9. 难度：中等

对于函数（其中a、b∈R，c∈Z），选取a、b、c的一组值计算f（1）、f（-1），所得结果一定不是（ ）
A．4和6
B．3和1
C．2和4
D．1和2

10. 难度：中等

函数，x∈[0，π]的图象绕x轴旋转一周，得到一旋转体，该旋转体的体积为（ ）
A．1
B．2
C．π
D．2π

二、填空题

11. 难度：中等

设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为    ．

12. 难度：中等

已知等比数列{a_n}为递增数列，且，则数列a_n的通项公式a_n=    ．

13. 难度：中等

设x，y为实数，若4x²+y²+xy=1，则2x+y的最大值是    ．

14. 难度：中等

向量满足，，，则的最大值为    ．

15. 难度：中等

设a，b为正实数，现有下列命题：
①若a²-b²=1，则a-b＜1；
②若，则a-b＜1；
③若，则|a-b|＜1；
④若|a³-b³|=1，则|a-b|＜1．
其中的真命题有    ．（写出所有真命题的编号）

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BAC=θ，a=4．
（Ⅰ）求b•c的最大值及θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数的最值．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：．

18. 难度：中等

①在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与BD相切的圆内运动，设（α、β∈R），求α+β的取值范围；
②△ABC中，证明不等式．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=，x∈[0，1]，
（1）求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）设a≥1，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx
①当0＜a＜b时，求证：
②设点P（0，1），求点P到f（x）图象上点的最近距离．

21. 难度：中等

已知正项数列{a_n}满足
①求{a_n}通项公式；
②若数列{b_n}满足，求{b_n}的前n项和S_n
③若数列{c_n}满足，其前n项和为T_n，证明．