2012-2013学年广东省湛江一中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1-i
D．1+i

2. 难度：中等

函数y=2^-x的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

命题p：“任意非零向量，都有”，则（ ）
A．p是假命题；￢p：任意非零向量，都有
B．p是假命题；￢p：存在非零向量，使
C．p是真命题；￢p：任意非零向量，都有
D．p是真命题；￢p：存在非零向量，使

4. 难度：中等

函数y=lgx-的零点所在的大致区间是（ ）
A．（6，7）
B．（7，8）
C．（8，9）
D．（9，10）

5. 难度：中等

已知两个非零向量与，定义|×|=||||sinθ，其中θ为与的夹角．若=（-3，4），=（0，2），则|×|的值为（ ）
A．-8
B．-6
C．6
D．8

6. 难度：中等

已知函数在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

7. 难度：中等

函数y=f（2x-1）是偶函数，则函数y=f（2x）的对称轴是（ ）
A．x=0
B．x=-1
C．x=
D．x=-

8. 难度：中等

自然数1，2，3，…，n按一定的顺序排成一个数列a₁，a₂，…，a_n，若满足|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|≤4，则称数列a₁，a₂，…，a_n是一个“优数列”，当n=6时，“优数列”共有（ ）
A．24
B．23
C．18
D．16

9. 难度：中等

从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标（x，y，z），若x+y+z是3的倍数，则满足条件的点的个数为（ ）
A．252
B．216
C．72
D．42

二、填空题

10. 难度：中等

若，则=    ．

11. 难度：中等

集合A为函数的值域，集合B为函数的值域，则A∩B=    ．

12. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂=6，S₄=30，则S₆=    ．

13. 难度：中等

已知正方形ABCD，M是DC的中点，由，确定m，n的值，计算定积分=    ．

14. 难度：中等

在锐角△ABC中，AC=1，B=2A，则BC的取值范围是    ．

15. 难度：中等

两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，得数列{a_n}，则a_n-a_n-1=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，，且．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求的值．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=1•a₁+3•a₂+…+（2n-1）a_n，求S_n．

18. 难度：中等

如图，简单组合体ABCDPE，其底面ABCD为边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．
（1）若N为线段PB的中点，求证：EN∥平面ABCD；
（2）求点D到平面PBE的距离．

19. 难度：中等

如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN：NE=16：9．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S（m²）．
（1）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；
（2）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1，n∈N）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a=4时，是否存在实数m，使得直线6x+y+m=0恰为曲线y=f（x）的切线？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
（3）设定义在D上的函数y=h（x）的图象在点P（x，h（x））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x时，若在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4，试问y=f（x）是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．