2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知a＞b＞0，e₁，e₂分别是圆锥曲线和的离心率，设m=lne₁+lne₂，则m的取值范围是     ．

2. 难度：中等

定义一个对应法则f：P（m，n）→P（，），（m≥0，n≥0）．现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为    ．

二、解答题

3. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-3•2ⁿ+4，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{S_n-4}的前n项和，求T_n．

4. 难度：中等

甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为
（Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；
（Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望．

5. 难度：中等

如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：
（Ⅰ）求A，C两点间的距离；
（Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

6. 难度：中等

一直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点．
（1）求证：∠ACB不可能是钝角；
（2）是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2）
（1）当t＜l时，求函数f（x）的单调区间；
（2）比较f（-2）与f （t）的大小，并加以证明；
（3）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间，设g（x）=f（x）+（x-2）e^x，试问函数g（x）在（1，+∞）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．

8. 难度：中等

选做题：几何证明选讲
如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．
（1）求证：E是AB的中点；
（2）求线段BF的长．

9. 难度：中等

已知圆锥曲线是参数）和定点，F₁、F₂是圆锥曲线的左、右焦点．
（1）求经过点F₂且垂直地于直线AF₁的直线l的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF₂的极坐标方程．

10. 难度：中等

设f（x）=|x|+2|x-a|（a＞0）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≤8．
（2）若f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．

三、选择题

11. 难度：中等

复数=（ ）
A．-4+2i
B．4-2i
C．2-4i
D．2+4i

12. 难度：中等

已知集合A={x||x|≤2}，x∈R，Z}，则A∩B=（ ）
A．（0，2）
B．[0，2]
C．{0，2}
D．{0，1，2}

13. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

执行右面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是（ ）

A．1 20
B．720
C．1440
D．5040

15. 难度：中等

用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（ ）
A．36
B．32
C．24
D．20

16. 难度：中等

若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．

17. 难度：中等

若第一象限内的点A（x，y）落在经过点（6，-2）且方向向量为的直线l上，则t=有（ ）
A．最大值1
B．最大值
C．最小值
D．最小值1

18. 难度：中等

已知实数x，y满足，如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m等于（ ）
A．7
B．5
C．4
D．3

19. 难度：中等

如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（-1）=（ ）

A．2
B．
C．
D．-2

20. 难度：中等

如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是（ ）
A．2
B．
C．π
D．4

21. 难度：中等

已知点M（-3，0）、N（3，0）、B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

22. 难度：中等

函数的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]上的值域为，那么就称函数y=f（x）为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则t的取值范围为（ ）
A．（0，+∞）
B．（-∞，0）
C．
D．

四、填空题

23. 难度：中等

在（x-1）（x+1）⁸的展开式中，x⁵的系数是    ．

24. 难度：中等

函数f（x）=x³-x²+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x²围成的图形的面积等于    ．