2012-2013学年江苏省南通一中高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若1∈{x，x²}，则x=    ．

2. 难度：中等

函数的定义域是    ．

3. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）的图象过点，则=    ．

4. 难度：中等

设函数f（x）满足f（2x-1）=4x²，则f（x）的表达式是    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=x²-x，x∈[-2，1]的值域是    ．

6. 难度：中等

若m∈（1，2），，则用“＞”将a，b，c按从大到小可排列为    ．

7. 难度：中等

已知函数，则=    ．

8. 难度：中等

若函数f（x）=a^x+log_a（x+1）（a＞0且a≠1）在区间[0，2]上的最大值与最小值之和为a²，则a的值为    ．

9. 难度：中等

给定函数：①，②，③y=2^x-1，④y=-x|x-2|，其中在区间（0，1）上是单调减函数的序号是    ．（填上所有你认为正确的结论的序号）

10. 难度：中等

已知方程log₃x=6-x的解所在区间为（k，k+1）（k∈N^*），则k=    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-2x+3在区间（1，2）上是减函数，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

奇函数f（x）满足：①f（x）在（0，+∞）内单调递增；②f（1）=0；则不等式（x-1）f（x）＞0的解集为：    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-a^x（a＞0且a≠1），当x∈（-1，1）时，恒成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知函数（a＞0且a≠1），现给出下列命题：
①当其图象是一条连续不断的曲线时，则a=；
②当其图象是一条连续不断的曲线时，能找到一个非零实数a使f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
③当时，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立；
④函数y=f（|x+1|）是偶函数．
其中正确命题的序号是    ．（填上所有你认为正确的命题的序号）

二、解答题

15. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|-1≤x＜3}，B={x|2x-4≥x-2}．
（1）求∁_U（A∩B）；
（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

（1）计算的值；
（2）已知a+a^-1=5，求a²+a^-2和的值．

17. 难度：中等

已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（2）=1，f（x）在（0，+∞）上的两个零点为1和3．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）作出f（x）的图象，并根据图象讨论关于x的方程f（x）-c=0（c∈R）根的个数．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3），其中0＜a＜1，记函数f（x）的定义域为D．
（1）求函数f（x）的定义域D；
（2）若函数f（x）的最小值为-4，求a的值；
（3）若对于D内的任意实数x，不等式-x²+2mx-m²+2m＜1恒成立，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数（a∈R）．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）为定义域上的奇函数，
①求函数f（x）的值域；
②求满足f（ax）＜f（2a-x²）的x的取值范围．

20. 难度：中等

若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（Ⅰ）证明：函数f（x）=2^x具有性质M，并求出对应的x的值；
（Ⅱ）已知函数h（x）=具有性质M，求a的取值范围；
（Ⅲ）试探究形如①y=kx+b（k≠0）、②y=ax²+bx+c（a≠0）、③y=（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log_ax（a＞0且a≠1）的函数，指出哪些函数一定具有性质M？并加以证明．