2012-2013学年广东省中山一中高三（上）第四次统练数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数Z满足（1+i）Z=1-i，则复数Z的共轭复数=（ ）
A．-i
B．i
C．1+i
D．1-i

2. 难度：中等

命题“∃（x，y），x，y∈R，2x+3y+3＜0”的否定是（ ）
A．∃（x，y），x，y∈R，2x+3y+3＜0
B．∃（x，y），x，y∈R，2x+3y+3≥0
C．∀（x，y），x∈R，y∈R，2x+3y+3≥0
D．∀（x，y），x∈R，y∈R，2x+3y+3＞0

3. 难度：中等

设集合A、B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A=，B={y|y=2x²}，则A×B等于（ ）
A．（2，+∞）
B．[0，1]∪[2，+∞）
C．[0，1）∪（2，+∞）
D．[0，1]∪（2，+∞）

4. 难度：中等

（立几）如图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为（ ）
A．16
B．16
C．64+16
D．16+

5. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令，则（ ）
A．b＜a＜c
B．c＜b＜a
C．b＜c＜a
D．a＜b＜c

6. 难度：中等

若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α⊥γ，β⊥γ则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若α∥β，β∥γ，m⊥α则m⊥γ．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：
①f（x）的值域为G，且G⊆[a，b]；
②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|．
那么，关于x的方程f（x）=x在区间[a，b]上根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且仅有一个实数根
C．恰有两个实数根
D．有无数个不同的实数根

二、填空题

9. 难度：中等

设f（x）=若f（f（1））=1，则a=    ．

10. 难度：中等

一个总体共有600个个体，随机编号为001，002，…，600．现采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600个个体分三组，从001到300在第1组，从301到495在第2组，从496到600在第3组．则这三组被抽中的个数依次为    ．

11. 难度：中等

x（x-）⁷的展开式中，x⁴的系数是    ．

12. 难度：中等

5名学生与两名教师站成一排照相，两名教师之间恰有两名学生的不同站法有    种．

13. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是线段A₁B，B₁C上的不与端点重合的动点，如果A₁E=B₁F，下面四个结论：
①EF⊥AA₁；
②EF∥AC；
③EF与AC异面；
④EF∥平面ABCD．
其中一定正确的结论序号是    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，曲线ρ=3截直线所得的弦长为    ．

15. 难度：中等

如图PM为圆O的切线，T为切点，，圆O的面积为2π，则PA=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量与互相垂直，其中．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若，求cosφ的值．

17. 难度：中等

第十一届西博会于2010年10月22日至26日在蓉举行，本届西博会以“绿色改变生活，技术引领发展”为主题．如此重要的国际盛会，自然少不了志愿者这支重要力量，“志愿者，西博会最亮丽的风景线”，通过他们的努力和付出，已把志愿者服务精神的种子播撒到人们心中．某大学对参加了本次西博会的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．
（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

18. 难度：中等

如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E为BC上的动点．
（1）当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE；
（2）设PA=1，在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P-ED-A的平面角大小为．试确定点E的位置．

19. 难度：中等

已知函数的最大值为2．
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．

20. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f（x）=，
（1）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；
（2）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

21. 难度：中等

已知f（x）=ax-lnx，，A∈R．
（Ⅰ）当x∈（0，e]时，f（x）的最小值是3，求a的值；
（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数G（x）=g（x）-f（x），是否存在“中值相依切线”，请说明理由．