2012-2013学年河南省郑州外国语学校高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₉=36，则a₂+a₄+a₉等于（ ）
A．36
B．24
C．18
D．12

2. 难度：中等

若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．[3，+∞）
D．（3，+∞）

3. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x²-4x+3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题
D．命题p：“∃x∈R使得x²+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x²+x+1≥0”

4. 难度：中等

设椭圆的两个焦点分别为F₁、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A．1800元
B．2400元
C．2800元
D．3100元

6. 难度：中等

已知P是椭圆上的点，Q、R分别是圆上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是（ ）
A．
B．
C．10
D．9

7. 难度：中等

已知2a＞c，2b＞c，且a+b-c=1，则（2a-c）（2b-c）的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面积为（ ）
A．2
B．1
C．
D．

9. 难度：中等

已知△ABC的三边a，b，c和其面积S满足S=c²-（a-b）²且a+b=2，则S的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：1、f（x）=x²；2、f（x）=2^x；3、f（x）=；4、f（x）=ln|x|．其中是“保等比函数”的f（x）的序号是（ ）
A．1，2
B．1，3
C．3，4
D．2，4

11. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式a_n=ncos+1，前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为（ ）
A．3014
B．3016
C．3018
D．3020

12. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₂-1）³+2012（a₂-1）=1，（a₂₀₁₁-1）³+2012（a₂₀₁₁-1）=-1则下列结论正确的是（ ）
A．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁＜a₂
B．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁＞a₂
C．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁≤a₂
D．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁≥a₂

二、填空题

13. 难度：中等

离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程是    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知sinA=若a²-c²=b²-mbc，则实数m的值为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，若2lgtanB=lgtanA+lgtanC，则B的取值范围是    ．

16. 难度：中等

设a∈R，若x＞0时均有[（a-1）x-1]（x²-ax-1）≥0，则a=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知命题p：函数y=x²+mx+1在（-1，+∞）上单调递增，命题q：函数y=4x²+4（m-2）x+1大于0恒成立．若p∧q为假，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，a=2bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA+sinC的取值范围．

19. 难度：中等

某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．
（1）若扣除投资和装修费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：
①纯利润总和最大时，以10万元出售；
②该楼年平均利润最大时以46万元出售该楼，问哪种方案更优？

20. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₃+a₄+a₅=84，a₉=73．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对任意m∈N^*，将数列{a_n}中落入区间（9^m，9^2m）内的项的个数记为b_m，求数列{b_m}的前m项和S_m．

21. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足条件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值为-．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=（）^f（n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若5f（a_n）是b_n与a_n的等差中项，试问数列{b_n}中第几项的值最小？求出这个最小值．

22. 难度：中等

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．