2012-2013学年安徽省蚌埠市怀远县高三（上）摸底数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数表示复平面内的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知全集U=R，集合M={x|log₂x＜1}，集合N={x|x≥1}，则集合M∩C_UN=（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|x＜1}
D．{x|x≥1}

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₅=18-a₈，则S₁₂（ ）
A．72
B．90
C．108
D．126

4. 难度：中等

向量，若与垂直，则λ为（ ）
A．-4
B．-2
C．4
D．2

5. 难度：中等

把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象的解析式是（ ）
A．y=2sin（2x+）
B．y=2sin（2x+）
C．y=2sin（x+）
D．y=2sin（x-）

6. 难度：中等

设a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中不正确的一个是（ ）
A．若a⊥α，a⊥β，则α∥β
B．若a⊥β，b⊥β，则a∥b
C．若b⊥β，a⊆β，则a⊥b
D．若a∥β，b⊆β，则a∥b

7. 难度：中等

已知程序框图如图，则输出i的值为（ ）

A．5
B．7
C．9
D．11

8. 难度：中等

若x，y满足约束条件，目标函数z=kx+2y仅在点（1，1）处取得最小值，则k的取值范围是（ ）
A．（-1，2）
B．（-4，2）
C．（-4，0]
D．（-2，4）

9. 难度：中等

已知函数y=f（x），（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则y=f（x）与y=|log₅x|的图象交点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

10. 难度：中等

甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a、b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤2，就称甲、乙有“心灵感应”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们有“心灵感应”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知f（x）=，则f[f（）]=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，AB=4，AC=2，D为BC的中点，则=    ．

13. 难度：中等

若等比数列{a_n}的前n项和，则a=    ．

14. 难度：中等

已知函数y=a^2x-4+1（a＞0且a≠1）的图象过定点A，且点A在直线上，则m+n的最小值为    ．

15. 难度：中等

某同学对函数f（x）=xcosx进行研究后，得出以下结论：
①函数y=f（x）的图象是中心对称图形；
②对任意实数x，|f（x）|≤|x|恒成立；
③函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
⑤当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）图象与直线y=kx有且只有一个公共点．
正确的命题的序号有    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	①	0.350
第3组	[170，175）	30	②
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185）	10	0.100
合计		100	1.00

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量=（2cos2A+3，2）=（2cosA，1），且∥．
（1）求角A的大小；
（2）若a=，b+c=3，求△ABC的面积 S．

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）＞m+2在上恒成立，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（Ⅰ）求出该几何体的体积．
（Ⅱ）若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；
（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCD．

20. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，S₃=39．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若在a_n与a_n+1之间插入n个数，使得这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列，求证：…．

21. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，g（-1））处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2对于任意x＞0恒成立，求实数a的取值范围．