2012-2013学年北京市西城区高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x-3＜0}，那么集合（C_UA）∩B=（ ）
A．{x|-1≤x＜3}
B．{x|-1＜x＜3}
C．{x|x＜-1}
D．{x|x＞3}

2. 难度：中等

“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a

5. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=2cos²
B．y=2sin²
C．
D．y=cos2

6. 难度：中等

已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

若偶函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log₃|x|的根的个数是（ ）
A．2个
B．4个
C．3个
D．多于4个

8. 难度：中等

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”现有四个函数：
①f（x）=e^x②f（x）=x³③④f（x）=lnx，其中存在“稳定区间”的函数有（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④

二、填空题

9. 难度：中等

（2x-4）dx=    ．

10. 难度：中等

若向量=（1，2）与向量=（λ，-1）共线，则实数λ=    ．

11. 难度：中等

若角α的终边经过点P（1，-2），则tan2α的值为    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（x）的解析式为    ．

13. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为s_n，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．若a₁=1，则s₄=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有，当a₁=11时，a₁₀₀=    ；若存在m∈N^*，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，则p的值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知：等差数列{a_n}中，a₄=14，前10项和S₁₀=185．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）将{a_n}中的第2项，第4项，…，第2ⁿ项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n项和G_n．

16. 难度：中等

在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C，所对的边，且满足．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=5，且a＞c，b=，求的值．

17. 难度：中等

已知a为实数，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（1）求导数f′（x）．
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．
（3）若f（x）在（-∞，-2）和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围．

18. 难度：中等

已知函数，．
（1）求的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：．

20. 难度：中等

已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．