2012-2013学年浙江省宁波市余姚三中高二（上）第二次月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={1，2}，N={a²}，则“a=1”是“N⊆M”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

2. 难度：中等

直线和直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直
B．垂直
C．平行
D．重合

3. 难度：中等

已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（ ）

A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形

5. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形．
A．4
B．3
C．2
D．1

6. 难度：中等

点P（2，5）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为（ ）
A．（6，-3）
B．（3，-6）
C．（-6，-3）
D．（-6，3）

7. 难度：中等

一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（ ）
A．8πcm²
B．12πcm²
C．16πcm²
D．20πcm²

8. 难度：中等

已知x、y满足不等式，在这些点中，使目标函数z=6x+8y取得最大值的点的坐标是（ ）
A．（1，4）
B．（0，5）
C．（5，0）
D．（3，0）

9. 难度：中等

在空间坐标中，点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

过点（0，-1）的直线l与半圆C：x²+y²-4x+3=0（y≥0）有且只有一个交点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．k=0或
B．
C．或
D．或

二、填空题

11. 难度：中等

过A（-3，0）、B（0，3）两点的直线方程是    ．（用直线方程一般式表示）

12. 难度：中等

已知a，b是两条异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系是    ．

13. 难度：中等

如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是    ．

14. 难度：中等

已知直线L经过点P（-4，-3），且被圆（x+1）²+（y+2）²=25截得的弦长为8，则直线L的方程是    ．

15. 难度：中等

四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为    ．

16. 难度：中等

过圆x²+y²=4外的一点A（4，0）作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，2），C（0，8）
（1）求BC边上的高所在直线的方程；
（2）求BC边上的中线所在直线的方程．

18. 难度：中等

已知P：方程x²+mx+1=0有两个不等的实数根，Q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若P∨Q为真，P∧Q为假，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中点．
（1）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（2）试在棱CC₁上求一点，使得平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

20. 难度：中等

如图，圆O₁与圆O₂的半径都是1，O₁O₂=4，过动点P分别作圆O₁．圆O₂的切线PM、PN（M．N分别为切点），使得PM=PN．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．

21. 难度：中等

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD绕CD旋转至
A′CD，使点A'与点B之间的距离A′B=．
（1）求证：BA′⊥平面A′CD；
（2）求二面角A′-CD-B的大小；
（3）求异面直线A′C与BD所成的角的余弦值．

22. 难度：中等

【解析图片】已知数列{a_n}与圆C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0和圆C₂：x²+y²+2x+2y-2=0，若圆C₁与圆C₂交于A，B两点且这两点平分圆C₂的周长．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若a₁=-3，则当圆C₁的半径最小时，求出圆C₁的方程．