2012-2013学年江苏省南通市海门中学高三（上）开学检测数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={-1，0，1，2，3}，则（C_uA）∩B=    ．

2. 难度：中等

已知复数z满足（1+i）•z=-i，则的模为    ．

3. 难度：中等

已知，则a=    ．

4. 难度：中等

右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩低于乙的平均成绩的
概率是    ．

5. 难度：中等

若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是    ．

6. 难度：中等

如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P-ABD和Q-CBD是两个高相等的正三棱锥，四点A，B，C，D在同一平面内，要使塔尖P，Q之间的距离为50m，则底边AB的长为      m．

7. 难度：中等

下面求2+5+8+11+…+2012的值的伪代码中，正整数m的最大值为    ．

8. 难度：中等

向量a=（cos10°，sin10°），b=（cos70°，sin70°），|a-2b|=    ．

9. 难度：中等

对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是    ．

10. 难度：中等

函数y=1-（x∈R）的最大值与最小值之和为    ．

11. 难度：中等

已知半椭圆+=1（y≥0，a＞b＞0）和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成的曲线C如图所示．曲线C交x轴于点A，B，交y轴于点G，H，点M是半圆上异于A，B的任意一点，当点M位于点（，-）时，△AGM的面积最大，则半椭圆的方程为    ．

12. 难度：中等

已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是    ．

13. 难度：中等

已知实数x、y满足，若不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立，则实数a的最小值是    ．

14. 难度：中等

设等比数列{a_n}满足公比q∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a₁=2⁸¹，则q的所有可能取值的集合为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知0＜α＜＜β＜π且sin（α+β）=，tan=．
（1）求cosα的值；
（2）证明：sinβ．

16. 难度：中等

如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．
（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．

17. 难度：中等

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．
（1）求g（10）；
（2）求第x个月的当月利润率g（x）；
（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

18. 难度：中等

已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，且圆C：过A，F₂两点．
（1）求椭圆标准的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=时，证明：点P在一定圆上；
（3）设椭圆的上顶点为Q，证明：PQ=PF₁+PF₂．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，设c_n=4a_n+1，数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式对任意的n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（mx+n）e^-x（m，n∈R，e是自然对数的底）
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）①当n=-1，m∈R时，若对于任意，都有f（x）≥x恒成立，求实数m的最小值；
②当m=n=1时，设函数g（x）=xf（x）+tf'（x）+e^-x（t∈R），是否存在实数a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c）？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M^-1以及椭圆+=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
21-2．（选修4-4：参数方程）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，），若直线l过点P，且倾斜角为 ，圆C以M为圆心、4为半径．
（1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）试判定直线l和圆C的位置关系．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，通项公式为，．
（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

23. 难度：中等

如图所示，某城市有南北街道和东西街道各n+1条，一邮递员从该城市西北角的邮局A出发，送信到东南角B地，要求所走路程最短．
（1）求该邮递员途径C地的概率f（n）；
（2）求证：2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3，（n∈N^*）．